Fatore cada expressão.
x^{3}+8 x^{2}+17 x+10

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o polinômio
x^{3}+8x^{2}+17x+10.
O conteúdo necessário inclui o Teorema das raízes racionais para encontrar uma raiz inteira e, em seguida, divisão sintética para reduzir a ordem, finalizando com a fatoração do quadrático obtido.

Passo 2

Pelos candidatos do Teorema das raízes racionais, as possíveis raízes inteiras de
x^{3}+8x^{2}+17x+10
são \pm1,\pm2,\pm5,\pm10. Vamos testar x=-1.

Passo 3

Avaliaremos o polinômio em x=-1:
(-1)^{3}+8(-1)^{2}+17(-1)+10 = -1 + 8 - 17 + 10 = 0.
Logo, x=-1 é raiz, ou seja, (x+1) é um fator.

Passo 4

Fazemos divisão sintética de x^{3}+8x^{2}+17x+10 por (x+1):
\begin{array}{r|rrrr} -1 & 1 & 8 & 17 & 10\\\ & & -1& -7 & -10\\\ \hline & 1 & 7 & 10 & 0 \end{array}
O quociente é x^{2}+7x+10.

Passo 5

Fatoramos o quadrático x^{2}+7x+10: buscamos dois números cuja soma seja 7 e produto seja 10. Esses números são 5 e 2. Assim,
x^{2}+7x+10 = (x+5)(x+2).

Resposta

(x+1)(x+5)(x+2)

Exercícios relacionados