Fatore cada expressão.
x^{4}-4 x^{3}+x^{2}+6 x

Passo 1

O enunciado pede para fatorar
x^4 - 4x^3 + x^2 + 6x
O conteúdo envolvido é fator comum, teorema do resto (raízes racionais) e fatoração de polinômio de 2º grau.

Passo 2

Observamos que todos os termos têm fator comum x. Logo,
x^4 - 4x^3 + x^2 + 6x = x\bigl(x^3 - 4x^2 + x + 6\bigr).

Passo 3

Para fatorar p(x)=x^3 - 4x^2 + x + 6, usamos o teorema do resto. As possíveis raízes inteiras são divisores de 6: \pm1,\pm2,\pm3,\pm6. Testando x=-1:
p(-1)=(-1)^3 - 4(-1)^2 + (-1) + 6 = -1 -4 -1 +6 = 0,
portanto x=-1 é raiz e (x+1) é fator de p(x).

Passo 4

Dividindo p(x) por (x+1) (síntese ou divisão polinomial), obtemos
x^3 - 4x^2 + x + 6 = (x+1)(x^2 - 5x + 6).

Passo 5

O quadrático x^2 - 5x + 6 fatora em
x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3).
Portanto a fatoração completa é
x\,(x+1)\,(x-2)\,(x-3).

Resposta

x(x+1)(x-2)(x-3)

Exercícios relacionados