Fatore a expressão:
a^{2} x-a y+a x-y

Passo 1

O enunciado pede para fatorar a expressão
a^{2} x - a y + a x - y.
Informações dadas:
  • A expressão está em termos das variáveis \,a\,,\,x\,,\,y.
  • O objetivo é escrever a expressão como produto de fatores (ou seja, encontrar um fator comum e/ou fatorizar por agrupamento até obter um produto de fatores mais simples).

Passo 2

Lembrete rápido sobre fatoração (mini-aula básica):
  • Fatorar significa escrever uma soma como produto. A ferramenta principal é a propriedade distributiva:
\alpha\beta+\alpha\gamma=\alpha(\beta+\gamma),
onde \alpha, \beta, \gamma são expressões quaisquer. Isso significa que, se dois termos têm um fator comum \alpha, pode-se “colocá-lo em evidência”.
  • Exemplo simples: 6x+9. Os dois termos têm fator comum 3, então
6x+9=3(2x+3).
Isso é exatamente a ideia que vamos aplicar passo a passo.

Passo 3

Organizar a expressão em pares que tenham fatores comuns facilita a fatoração. Reescrevo a expressão agrupando termos:
a^{2} x - a y + a x - y = \bigl(a^{2} x + a x\bigr) + \bigl(-a y - y\bigr).
Apenas reagrupamos os termos; não alteramos a expressão.

Passo 4

Fatorar cada par separadamente:
  • No primeiro par \,a^{2} x + a x, ambos os termos têm o fator comum \,a x. Colocando a x em evidência:
a^{2} x + a x = a x\,(a+1).
Explicando: a x\cdot a = a^{2}x e a x\cdot 1 = a x.
  • No segundo par \,-a y - y, ambos os termos têm o fator comum \,y. Melhor escrever tirando -y em evidência para ficar compatível com o sinal:
- a y - y = -y\,(a+1).
Explicando: -y\cdot a = -a y e -y\cdot 1 = -y.

Passo 5

Agora substituímos as fatorações dos pares na soma:
\bigl(a^{2} x + a x\bigr) + \bigl(-a y - y\bigr) = a x\,(a+1) + \bigl(-y\,(a+1)\bigr).
Observa que ambos os termos agora têm o fator comum (a+1). Aplicamos novamente a distributiva, colocando (a+1) em evidência:
a x\,(a+1) - y\,(a+1) = (a+1)\bigl(a x - y\bigr).

Passo 6

Verificação rápida: expandir (a+1)\bigl(a x - y\bigr) deve retornar a expressão original:
(a+1)\bigl(a x - y\bigr) = a\bigl(a x - y\bigr) + 1\cdot\bigl(a x - y\bigr) = a^{2}x - a y + a x - y,
que é exatamente a expressão inicial. Portanto a fatoração está correta.

Resposta

(a+1)\bigl(a x - y\bigr)

Exercícios relacionados