Verifique a seguinte igualdade utilizando as propriedades das potências com expoentes racionais:
Passo 1
O enunciado nos dá a igualdade a verificar:
O que se pede: mostrar passo a passo, usando propriedades de potências com expoentes racionais, que o lado esquerdo da igualdade simplifica para
.
Informações relevantes dadas no enunciado:
- Existem três fatores multiplicativos principais:
, o colchete elevado a e . - Dentro do colchete aparecem
e .
Passo 2
Vou listar e explicar as propriedades de potências com expoentes racionais que vou usar (cada fórmula é válida quando as bases forem positivas; aqui as bases são positivas):
- Produto dentro de potência:
. Isso significa que elevar um produto a uma potência é o mesmo que elevar cada fator àquela potência. - Potência de potência:
. Útil para combinar expoentes. - Potência de uma fração:
. - Expoente negativo:
. - Relação entre expoentes racionais e raízes:
. Por exemplo, e .
Exemplo rápido e intuitivo:
porque
. Em notação de potências:
.
Passo 3
Simplifico os fatores dentro do colchete usando raízes conhecidas:
Calcular
.
- Observação de potências:
e . - Logo,
(Usei
.)
Calcular
.
- Observação:
e . - Portanto,
Multiplicando esses dois resultados dentro do colchete:
Passo 4
Agora aplico o expoente externo
ao resultado do colchete:
(Usei
na forma inversa e a simplificação já feita.)
Passo 5
Trato o fator com expoente negativo:
(Usei
e depois a propriedade de potência de potência.)
Passo 6
Reescrevo a expressão original substituindo as simplificações que já achei:
Agrupo os dois fatores com expoente
, que têm a mesma potência, para combiná-los:
(Usei
.)
Logo a expressão fica
Passo 7
Simplifico
escrevendo
e
como potências de primos:
-
e . Então
(Usei
.)
Substituindo:
Passo 8
Agora junto as potências de
:
Calculo a soma dos expoentes escrevendo
em sextos:
. Então
Portanto
Incluindo o fator
que ficou antes, obtemos
Passo 9
Interpreto
como raiz seguida de potência:
Logo a expressão completa vale
Isso coincide exatamente com o lado direito da igualdade do enunciado, logo a igualdade está verificada.