Verifique a seguinte igualdade utilizando as propriedades das potências com expoentes racionais:
3^{\frac{5}{6}} \cdot\left[\left(\frac{216}{125}\right)^{\frac{1}{3}} \cdot\left(\frac{25}{16}\right)^{\frac{1}{2}}\right]^{\frac{1}{3}} \cdot\left(\frac{4}{3}\right)^{-\frac{1}{3}}=\frac{3 \sqrt{3}}{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a igualdade a verificar:
3^{\frac{5}{6}}\cdot\left[\left(\frac{216}{125}\right)^{\frac{1}{3}}\cdot\left(\frac{25}{16}\right)^{\frac{1}{2}}\right]^{\frac{1}{3}}\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^{-\frac{1}{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}.
O que se pede: mostrar passo a passo, usando propriedades de potências com expoentes racionais, que o lado esquerdo da igualdade simplifica para \dfrac{3\sqrt{3}}{2}.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • Existem três fatores multiplicativos principais: 3^{\frac{5}{6}}, o colchete elevado a \tfrac{1}{3} e \left(\dfrac{4}{3}\right)^{-\tfrac{1}{3}}.
  • Dentro do colchete aparecem \left(\dfrac{216}{125}\right)^{\tfrac{1}{3}} e \left(\dfrac{25}{16}\right)^{\tfrac{1}{2}}.

Passo 2

Vou listar e explicar as propriedades de potências com expoentes racionais que vou usar (cada fórmula é válida quando as bases forem positivas; aqui as bases são positivas):
  • Produto dentro de potência: \left(ab\right)^r = a^r b^r. Isso significa que elevar um produto a uma potência é o mesmo que elevar cada fator àquela potência.
  • Potência de potência: \left(a^r\right)^s = a^{rs}. Útil para combinar expoentes.
  • Potência de uma fração: \left(\dfrac{a}{b}\right)^r = \dfrac{a^r}{b^r}.
  • Expoente negativo: a^{-r} = \dfrac{1}{a^r}.
  • Relação entre expoentes racionais e raízes: a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}. Por exemplo, a^{1/2}=\sqrt{a} e a^{1/3}=\sqrt[3]{a}.
Exemplo rápido e intuitivo: \left(8\right)^{1/3}=\sqrt[3]{8}=2 porque 2^3=8. Em notação de potências: 8^{1/3}=(2^3)^{1/3}=2^{3\cdot(1/3)}=2.

Passo 3

Simplifico os fatores dentro do colchete usando raízes conhecidas:
Calcular \left(\dfrac{216}{125}\right)^{\tfrac{1}{3}}.
  • Observação de potências: 216=6^3 e 125=5^3.
  • Logo,
\left(\frac{216}{125}\right)^{\frac{1}{3}}=\frac{6^3{}^{\,\frac{1}{3}}}{5^3{}^{\,\frac{1}{3}}}=\frac{6}{5}.
(Usei \left(\dfrac{a^3}{b^3}\right)^{1/3}=\dfrac{a^{3\cdot(1/3)}}{b^{3\cdot(1/3)}}=\dfrac{a}{b}.)
Calcular \left(\dfrac{25}{16}\right)^{\tfrac{1}{2}}.
  • Observação: 25=5^2 e 16=4^2.
  • Portanto,
\left(\frac{25}{16}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{5}{4}.
Multiplicando esses dois resultados dentro do colchete:
\frac{6}{5}\cdot\frac{5}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}.

Passo 4

Agora aplico o expoente externo \tfrac{1}{3} ao resultado do colchete:
\left[\left(\frac{216}{125}\right)^{\frac{1}{3}}\cdot\left(\frac{25}{16}\right)^{\frac{1}{2}}\right]^{\frac{1}{3}}=\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{3}}.
(Usei \left(ab\right)^r = a^r b^r na forma inversa e a simplificação já feita.)

Passo 5

Trato o fator com expoente negativo:
\left(\frac{4}{3}\right)^{-\frac{1}{3}}=\left(\frac{4}{3}\right)^{-1\cdot\frac{1}{3}}=\left(\left(\frac{4}{3}\right)^{-1}\right)^{\frac{1}{3}}=\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{1}{3}}.
(Usei a^{-r}=1/a^r e depois a propriedade de potência de potência.)

Passo 6

Reescrevo a expressão original substituindo as simplificações que já achei:
3^{\frac{5}{6}}\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{3}}\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{1}{3}}.
Agrupo os dois fatores com expoente \tfrac{1}{3}, que têm a mesma potência, para combiná-los:
\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{3}}\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{1}{3}}=\left(\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{4}\right)^{\frac{1}{3}}=\left(\frac{9}{8}\right)^{\frac{1}{3}}.
(Usei \,a^{r}b^{r}=(ab)^{r}.)
Logo a expressão fica
3^{\frac{5}{6}}\cdot\left(\frac{9}{8}\right)^{\frac{1}{3}}.

Passo 7

Simplifico \left(\dfrac{9}{8}\right)^{\tfrac{1}{3}} escrevendo 9 e 8 como potências de primos:
  • 9=3^2 e 8=2^3. Então
\left(\frac{9}{8}\right)^{\frac{1}{3}}=\frac{9^{\frac{1}{3}}}{8^{\frac{1}{3}}}=\frac{(3^2)^{\frac{1}{3}}}{(2^3)^{\frac{1}{3}}}=\frac{3^{\frac{2}{3}}}{2}.
(Usei \left(a^m\right)^n=a^{mn}.)
Substituindo:
3^{\frac{5}{6}}\cdot\left(\frac{9}{8}\right)^{\frac{1}{3}}=3^{\frac{5}{6}}\cdot\frac{3^{\frac{2}{3}}}{2}.

Passo 8

Agora junto as potências de 3:
3^{\frac{5}{6}}\cdot 3^{\frac{2}{3}}=\;3^{\frac{5}{6}+\frac{2}{3}}.
Calculo a soma dos expoentes escrevendo \tfrac{2}{3} em sextos: \tfrac{2}{3}=\tfrac{4}{6}. Então
\frac{5}{6}+\frac{2}{3}=\frac{5}{6}+\frac{4}{6}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}.
Portanto
3^{\frac{5}{6}}\cdot 3^{\frac{2}{3}}=3^{\frac{3}{2}}.
Incluindo o fator \dfrac{1}{2} que ficou antes, obtemos
3^{\frac{5}{6}}\cdot\frac{3^{\frac{2}{3}}}{2}=\frac{1}{2}\,3^{\frac{3}{2}}.

Passo 9

Interpreto 3^{\tfrac{3}{2}} como raiz seguida de potência:
3^{\frac{3}{2}}=3^{1+\frac{1}{2}}=3\cdot 3^{\frac{1}{2}}=3\sqrt{3}.
Logo a expressão completa vale
\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}.
Isso coincide exatamente com o lado direito da igualdade do enunciado, logo a igualdade está verificada.

Resposta

\dfrac{3\sqrt{3}}{2}

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