Aplicando as regras dos produtos notáveis, desenvolva:
\left(3 x^{2}+y\right) \cdot\left(3 x^{2}-y\right)

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver a expressão \left(3 x^{2}+y\right)\cdot\left(3 x^{2}-y\right).
Informações dadas:
  • A expressão a desenvolver é \left(3 x^{2}+y\right)\cdot\left(3 x^{2}-y\right).
  • As incógnitas são x e y (podem ser quaisquer números reais).
    O objetivo é aplicar produtos notáveis para escrever essa multiplicação em forma expandida e simplificada.

Passo 2

Apresentação do produto notável que vamos usar. Existe uma identidade muito útil chamada diferença de quadrados:
(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}.
Explicação curta e clara de por que isso vale: usando a propriedade distributiva,
(a+b)(a-b)=a(a-b)+b(a-b)=a^{2}-ab+ab-b^{2}=a^{2}-b^{2},
ou seja, os termos cruzados -ab e +ab se cancelam. Aqui a e b são símbolos que representam quaisquer expressões.

Passo 3

Identificar as partes na expressão dada de modo a usar a identidade. Comparando
\left(3 x^{2}+y\right)\cdot\left(3 x^{2}-y\right) com (a+b)(a-b), vemos que:
a = 3 x^{2},\qquad b = y.
Ou seja, a expressão é exatamente um caso de produto da soma pela diferença com essas escolhas de a e b.

Passo 4

Calcular a^{2} e b^{2} separadamente, explicando as regras de potenciação usadas:
  • Para a^{2} temos
a^{2}=(3 x^{2})^{2}=3^{2}\cdot (x^{2})^{2}=9\cdot x^{4}=9 x^{4},
porque (mn)^{2}=m^{2}n^{2} e (x^{2})^{2}=x^{2\cdot 2}=x^{4}.
  • Para b^{2} temos
b^{2}=y^{2}.

Passo 5

Aplicar a identidade (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2} substituindo os valores calculados:
(3 x^{2}+y)(3 x^{2}-y)=a^{2}-b^{2}=9 x^{4}-y^{2}.
Como verificação alternativa (distribuição/FOIL): multiplicando termo a termo
(3x^{2}+y)(3x^{2}-y)=(3x^{2})(3x^{2})-(3x^{2})y+y(3x^{2})-y^{2}=9x^{4}-3x^{2}y+3x^{2}y-y^{2}=9x^{4}-y^{2},
os termos mistos -3x^{2}y e +3x^{2}y cancelam, confirmando o resultado.

Resposta

9 x^{4}-y^{2}

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