Fatore as expressões.
16 x^{2}-1

Passo 1

O enunciado pede para fatorar a expressão \,16x^{2}-1\,.
Informações dadas: é um polinômio com dois termos (um termo com x e uma constante):
  • primeiro termo: \,16x^{2}\,;
  • segundo termo: -1.

Passo 2

Reconhecer padrões ajuda muito. Há uma identidade algébrica muito útil chamada diferença de quadrados:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aqui a e b representam quaisquer expressões (podem ser números, monômios, etc.). Para ver por que a identidade vale, basta multiplicar:
(a-b)(a+b)=a^{2}+ab-ab-b^{2}=a^{2}-b^{2}.
Ou seja, os termos mistos +ab e -ab se cancelam.

Passo 3

Agora vamos comparar a expressão dada com o padrão a^{2}-b^{2}. Precisamos encontrar a e b tais que
a^{2}=16x^{2}\qquad\text{e}\qquad b^{2}=1.
Escolhemos
a=4x\quad\text{pois}\quad(4x)^{2}=16x^{2}, \qquad b=1\quad\text{pois}\quad1^{2}=1.

Passo 4

Aplicando a identidade da diferença de quadrados com a=4x e b=1, obtemos:
16x^{2}-1=(4x-1)(4x+1).

Passo 5

Conferência rápida (multiplicação para checar):
Multiplicando (4x-1)(4x+1) pelo método FOIL:
4x\cdot4x=16x^{2},\quad 4x\cdot1=4x,\quad -1\cdot4x=-4x,\quad -1\cdot1=-1.
Os termos 4x e -4x se cancelam, sobrando 16x^{2}-1. Está correto.

Passo 6

Exemplos extras para fixar a ideia:
  • \,9y^{2}-4=(3y-2)(3y+2), porque 9y^{2}=(3y)^{2} e 4=2^{2}.
  • \,x^{2}-25=(x-5)(x+5), porque 25=5^{2}.

Resposta

(4x-1)(4x+1)

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