Fatore as expressões.
Passo 1
O enunciado dá a expressão
e pede que a gente a fatorize.
Informações relevantes: a expressão é uma diferença (soma com sinal menos) entre duas quantidades: uma é e a outra é
. O objetivo é escrever
como produto de fatores mais simples.
Informações relevantes: a expressão é uma diferença (soma com sinal menos) entre duas quantidades: uma é
Passo 2
Procuro primeiro um fator comum em todos os termos. Aqui os termos são
e
. Não há fator comum não-trivial em
e
(nem um número inteiro comum, além de
), então não dá para fatorar por fator comum. Próximo passo: reconhecer padrões algébricos clássicos que permitam fatorar.
Passo 3
Reconhecer o padrão “diferença de quadrados”. A identidade básica é
onde
e
são quaisquer expressões. Vou tentar colocar
no formato
.
Passo 4
Escrever
como quadrado de algo. Observa-se que
Portanto a expressão fica
Agora é exatamente uma diferença de quadrados com
e
.
Passo 5
Aplicando a identidade da diferença de quadrados com
e
, obtemos
Passo 6
Conferência rápida (expandindo para checar):
logo a fatoração está correta.
Passo 7
Observação importante para a prova: a fatoração encontrada usa coeficientes irracionais (
). Não existe fatoração em termos de fatores lineares com coeficientes racionais (ou inteiros) porque, se tentássemos
com
inteiros, as condições de expansão levam a contradição (o termo em
teria que desaparecer, mas as opções inteiras possíveis para
não satisfazem isso simultaneamente). Portanto a fatoração acima é a fatoração sobre os reais.