Fatore as expressões.
2 u^{2}-v^{2}

Passo 1

O enunciado dá a expressão 2u^{2}-v^{2} e pede que a gente a fatorize.
Informações relevantes: a expressão é uma diferença (soma com sinal menos) entre duas quantidades: uma é 2u^{2} e a outra é v^{2}. O objetivo é escrever 2u^{2}-v^{2} como produto de fatores mais simples.

Passo 2

Procuro primeiro um fator comum em todos os termos. Aqui os termos são 2u^{2} e -v^{2}. Não há fator comum não-trivial em u e v (nem um número inteiro comum, além de 1), então não dá para fatorar por fator comum. Próximo passo: reconhecer padrões algébricos clássicos que permitam fatorar.

Passo 3

Reconhecer o padrão “diferença de quadrados”. A identidade básica é
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b),
onde a e b são quaisquer expressões. Vou tentar colocar 2u^{2}-v^{2} no formato a^{2}-b^{2}.

Passo 4

Escrever 2u^{2} como quadrado de algo. Observa-se que
2u^{2}=(\sqrt{2}\,u)^{2}.
Portanto a expressão fica
2u^{2}-v^{2}=(\sqrt{2}\,u)^{2}-v^{2}.
Agora é exatamente uma diferença de quadrados com a=\sqrt{2}\,u e b=v.

Passo 5

Aplicando a identidade da diferença de quadrados com a=\sqrt{2}\,u e b=v, obtemos
(\sqrt{2}\,u)^{2}-v^{2}=(\sqrt{2}\,u-v)(\sqrt{2}\,u+v).

Passo 6

Conferência rápida (expandindo para checar):
(\sqrt{2}\,u-v)(\sqrt{2}\,u+v)=(\sqrt{2}\,u)^{2}-v^{2}=2u^{2}-v^{2},
logo a fatoração está correta.

Passo 7

Observação importante para a prova: a fatoração encontrada usa coeficientes irracionais ( \sqrt{2}). Não existe fatoração em termos de fatores lineares com coeficientes racionais (ou inteiros) porque, se tentássemos (au+bv)(cu+dv) com a,b,c,d inteiros, as condições de expansão levam a contradição (o termo em uv teria que desaparecer, mas as opções inteiras possíveis para a,c,b,d não satisfazem isso simultaneamente). Portanto a fatoração acima é a fatoração sobre os reais.

Resposta

(\sqrt{2}\,u-v)(\sqrt{2}\,u+v)

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