Fatore
e encontre suas raízes.
Passo 1
O que o problema pede e o que nos é dado.
- Pede-se: fatorar o polinômio
e encontrar suas raízes. - Dado: o polinômio
- Informação útil que já podemos extrair: é um polinômio de grau
com coeficiente líder e termo constante .
Passo 2
Estratégia e ferramentas que vamos usar (explicadas de forma didática).
- Teorema do Resto / Teorema do Fator: se um número
satisfaz então é um fator de . Isso transforma o problema de fatorar em procurar raízes. - Teorema das raízes racionais (caso simples): para um polinômio com coeficiente líder
, quaisquer raízes racionais possíveis são divisores inteiros do termo constante. Aqui o termo constante é , logo os candidatos racionais são
- Método prático: testar esses candidatos por substituição direta (ou usar divisão sintética). Quando encontramos um
que zera , dividimos por para obter um quociente de grau menor, que então fatoramos (no caso, um quadrático).
Passo 3
Testando candidatos: avaliação direta de
.
- Calcular
:
Fazendo as somas:
, então
e
. Logo
.
- Conclusão desta etapa (pela explicação do Passo 2): como
, pelo Teorema do Fator é um fator de .
Passo 4
Dividindo
por
usando divisão sintética (método rápido).
- Colocamos os coeficientes do polinômio:
(de ), (de ), (de ), (constante). - Fazer divisão sintética com
:
Escrevendo o procedimento:
-
Interpretação passo a passo:
- Trago o
para baixo (primeiro coeficiente do quociente). - Multiplico
(valor trazido) por e somo ao próximo coeficiente: . - Multiplico
por e somo: . - Multiplico
por e somo: (resto zero, confirmado).
- Trago o
-
Assim, o quociente é o polinômio de grau
com coeficientes , ou seja
Passo 5
Fatorando o quadrático
.
Duas maneiras didáticas de obter os fatores:
- Observação por soma e produto:
- Procuramos dois números cujo produto seja
(termo constante) e cuja soma seja (coeficiente de com sinal trocado). - Os números
e satisfazem (não), desculpe, revisar: os números são e porque e . - Portanto
- (Confirmação) Usando fórmula quadrática para exemplificar:
- Para um quadrático
, as raízes são
- Aqui
, , . O discriminante é
- Logo as raízes são
que dão
e
, confirmando a fatoração
.
Passo 6
Reunindo os resultados (sem repetir a resposta final completa aqui, apenas mostrando as peças obtidas).
- Encontramos que
é um fator (Passo 3). - O quociente obtido pela divisão por
foi (Passo 4). - Esse quadrático fatorou como
(Passo 5).