Fatore p(x)=x^{3}-6 x^{2}+11 x-6 e encontre suas raízes.

Passo 1

O que o problema pede e o que nos é dado.
  • Pede-se: fatorar o polinômio p(x) e encontrar suas raízes.
  • Dado: o polinômio
p(x)=x^{3}-6x^{2}+11x-6.
  • Informação útil que já podemos extrair: é um polinômio de grau 3 com coeficiente líder 1 e termo constante -6.

Passo 2

Estratégia e ferramentas que vamos usar (explicadas de forma didática).
  • Teorema do Resto / Teorema do Fator: se um número r satisfaz p(r)=0 então (x-r) é um fator de p(x). Isso transforma o problema de fatorar em procurar raízes.
  • Teorema das raízes racionais (caso simples): para um polinômio com coeficiente líder 1, quaisquer raízes racionais possíveis são divisores inteiros do termo constante. Aqui o termo constante é -6, logo os candidatos racionais são
\pm 1,\\ \pm 2,\\ \pm 3,\\ \pm 6.
  • Método prático: testar esses candidatos por substituição direta (ou usar divisão sintética). Quando encontramos um r que zera p, dividimos p(x) por (x-r) para obter um quociente de grau menor, que então fatoramos (no caso, um quadrático).

Passo 3

Testando candidatos: avaliação direta de p(x).
  • Calcular p(1):
p(1)=1^{3}-6\cdot1^{2}+11\cdot1-6=1-6+11-6.
Fazendo as somas: 1-6=-5, então -5+11=6 e 6-6=0. Logo p(1)=0.
  • Conclusão desta etapa (pela explicação do Passo 2): como p(1)=0, pelo Teorema do Fator (x-1) é um fator de p(x).

Passo 4

Dividindo p(x) por (x-1) usando divisão sintética (método rápido).
  • Colocamos os coeficientes do polinômio: 1 (de x^3), -6 (de x^2), 11 (de x), -6 (constante).
  • Fazer divisão sintética com r=1:
Escrevendo o procedimento:
\begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & -6 & 11 & -6\\hline & & 1 & -5 & 6 \\\ \end{array}
  • Interpretação passo a passo:
    • Trago o 1 para baixo (primeiro coeficiente do quociente).
    • Multiplico 1 (valor trazido) por r=1 e somo ao próximo coeficiente: -6+1=-5.
    • Multiplico -5 por 1 e somo: 11+(-5)=6.
    • Multiplico 6 por 1 e somo: -6+6=0 (resto zero, confirmado).
  • Assim, o quociente é o polinômio de grau 2 com coeficientes 1,\\\ -5,\\\ 6, ou seja
\text{quociente }=x^{2}-5x+6.

Passo 5

Fatorando o quadrático x^{2}-5x+6.
Duas maneiras didáticas de obter os fatores:
  1. Observação por soma e produto:
  • Procuramos dois números cujo produto seja 6 (termo constante) e cuja soma seja 5 (coeficiente de x com sinal trocado).
  • Os números 2 e 3 satisfazem 2\cdot 2 = 4 (não), desculpe, revisar: os números são 2 e 3 porque 2\cdot 3=6 e 2+3=5.
  • Portanto
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).
  1. (Confirmação) Usando fórmula quadrática para exemplificar:
  • Para um quadrático ax^{2}+bx+c, as raízes são
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
  • Aqui a=1, b=-5, c=6. O discriminante é
\Delta=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4\cdot1\cdot6=25-24=1.
  • Logo as raízes são
x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm1}{2},
que dão x=3 e x=2, confirmando a fatoração (x-2)(x-3).

Passo 6

Reunindo os resultados (sem repetir a resposta final completa aqui, apenas mostrando as peças obtidas).
  • Encontramos que (x-1) é um fator (Passo 3).
  • O quociente obtido pela divisão por (x-1) foi x^{2}-5x+6 (Passo 4).
  • Esse quadrático fatorou como (x-2)(x-3) (Passo 5).

Resposta

p(x)=(x-1)(x-2)(x-3)
\text{Raízes: }x=1,\ x=2,\ x=3.í

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