(UNIFICADO-RJ) Uma fábrica deverá participar de uma exposição de carros com 6 modelos diferentes, sendo dois deles de cor vermelha e os demais de cores variadas. Esses carros serão colocados em um “stand” com capacidade para 3 modelos, somente com cores diferentes. O número de maneiras distintas desse “stand” ser arrumado é:
(a) 24
b) 36
c) 60
d) 72
e) 96
(a) 24
b) 36
c) 60
d) 72
e) 96
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pergunta uma coisa clara:
- Existem
modelos diferentes de carro. - Desses
, exatamente são da cor vermelha e os outros têm cores todas diferentes entre si e diferentes do vermelho. - O stand tem capacidade para
modelos. - Regra do stand: os
modelos exibidos devem ser de cores diferentes (ou seja, não podem aparecer os dois carros vermelhos ao mesmo tempo). - Pergunta: de quantas maneiras distintas esse stand pode ser arrumado? (Aqui “arrumado” significa que a ordem dos
lugares importa — cada disposição é uma ordem dos carros escolhidos.)
Passo 2
Vamos entender a ideia de contagem que vamos usar (aula rapidinha de permutações).
- Quando a ordem importa e escolhemos
elementos entre distintos, o número de arranjos é dado pela permutação sem repetição
onde
(lê-se "fatorial de
") significa
- Exemplo simples:
. Isso é o número de maneiras de ordenar objetos distintos. - No nosso problema
e se não houvesse restrição de cor; então começaríamos calculando .
Passo 3
Calcular o total de arrumações sem considerar ainda a restrição das cores (apenas para ter a base).
Usando a fórmula,
Agora desenvolver:
Portanto
Interpretação: sem restrição de cor há
arranjos possíveis dos
lugares escolhendo entre os
modelos distintos.
Passo 4
Agora vamos contar quantos desses arranjos são proibidos pela regra (ou seja, quantos arranjos incluem os dois carros vermelhos juntos). Fazemos isso porque é mais fácil usar o complemento: Arranjos válidos = total − arranjos proibidos.
Para contar arranjos que contêm os dois carros vermelhos:
- Os dois vermelhos devem estar entre os
selecionados, então o terceiro carro é escolhido entre os que não são vermelhos. Isso dá escolhas para o terceiro carro. - Uma vez escolhidos os
modelos (os dois vermelhos + o terceiro), eles podem ser ordenados nos lugares de maneiras. E . - Logo o número de arranjos proibidos é
Passo 5
Aplicando o princípio do complemento (tira os proibidos do total):
Passo 6
Resumo final e check rápido: começamos com todas as permutações de
elementos tomados
a
(
), subtraímos os casos em que aparecem os dois vermelhos simultaneamente (
), sobrando
arrumações possíveis que respeitam a regra “cores diferentes”. Força aí — você já tem a resposta e o raciocínio para explicar na prova!
Resposta
(e) 96