(UNIFICADO-RJ) Uma fábrica deverá participar de uma exposição de carros com 6 modelos diferentes, sendo dois deles de cor vermelha e os demais de cores variadas. Esses carros serão colocados em um “stand” com capacidade para 3 modelos, somente com cores diferentes. O número de maneiras distintas desse “stand” ser arrumado é:
(a) 24
b) 36
c) 60
d) 72
e) 96

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pergunta uma coisa clara:
  • Existem 6 modelos diferentes de carro.
  • Desses 6, exatamente 2 são da cor vermelha e os outros 4 têm cores todas diferentes entre si e diferentes do vermelho.
  • O stand tem capacidade para 3 modelos.
  • Regra do stand: os 3 modelos exibidos devem ser de cores diferentes (ou seja, não podem aparecer os dois carros vermelhos ao mesmo tempo).
  • Pergunta: de quantas maneiras distintas esse stand pode ser arrumado? (Aqui “arrumado” significa que a ordem dos 3 lugares importa — cada disposição é uma ordem dos 3 carros escolhidos.)

Passo 2

Vamos entender a ideia de contagem que vamos usar (aula rapidinha de permutações).
  • Quando a ordem importa e escolhemos k elementos entre n distintos, o número de arranjos é dado pela permutação sem repetição
P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!},
onde n! (lê-se "fatorial de n") significa
n!=n\cdot(n-1)\cdot\dotsb\cdot2\cdot1.
  • Exemplo simples: 3!=3\cdot2\cdot1=6. Isso é o número de maneiras de ordenar 3 objetos distintos.
  • No nosso problema n=6 e k=3 se não houvesse restrição de cor; então começaríamos calculando P(6,3).

Passo 3

Calcular o total de arrumações sem considerar ainda a restrição das cores (apenas para ter a base).
Usando a fórmula,
P(6,3)=\frac{6!}{(6-3)!}=\frac{6!}{3!}.
Agora desenvolver:
6!=6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1, \qquad 3!=3\cdot2\cdot1=6.
Portanto
P(6,3)=\frac{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{3\cdot2\cdot1}=6\cdot5\cdot4=120.
Interpretação: sem restrição de cor há 120 arranjos possíveis dos 3 lugares escolhendo entre os 6 modelos distintos.

Passo 4

Agora vamos contar quantos desses arranjos são proibidos pela regra (ou seja, quantos arranjos incluem os dois carros vermelhos juntos). Fazemos isso porque é mais fácil usar o complemento: Arranjos válidos = total − arranjos proibidos.
Para contar arranjos que contêm os dois carros vermelhos:
  • Os dois vermelhos devem estar entre os 3 selecionados, então o terceiro carro é escolhido entre os 4 que não são vermelhos. Isso dá 4 escolhas para o terceiro carro.
  • Uma vez escolhidos os 3 modelos (os dois vermelhos + o terceiro), eles podem ser ordenados nos 3 lugares de 3! maneiras. E 3!=6.
  • Logo o número de arranjos proibidos é
4\cdot 3! = 4\cdot 6 = 24.

Passo 5

Aplicando o princípio do complemento (tira os proibidos do total):
\text{arranjos válidos} = P(6,3) - \text{proibidos} = 120 - 24 = 96.á

Passo 6

Resumo final e check rápido: começamos com todas as permutações de 6 elementos tomados 3 a 3 ( 120), subtraímos os casos em que aparecem os dois vermelhos simultaneamente ( 24), sobrando 96 arrumações possíveis que respeitam a regra “cores diferentes”. Força aí — você já tem a resposta e o raciocínio para explicar na prova!

Resposta

(e) 96

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