Fatore o polinômio
em um produto de irredutíveis em
. E depois em
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: fatorar o polinômio em um produto de irreducíveis em
e depois em
. As informações dadas são apenas o próprio polinômio
Portanto as perguntas são:
- Qual é a fatoração em
?\n - Qual é a fatoração em
?\n
Tenho que entregar as duas fatorações e mostrar passo a passo como chegar nelas.
Passo 2
Vamos usar uma estratégia clássica e simples para polinômios com coeficientes inteiros: o Teorema das Raízes Racionais (Rational Root Theorem). Vou explicar esse teorema de forma prática: se um polinômio com coefeficientes inteiros
tem uma raiz racional na forma
em que
, então
divide
e
divide
. Ou seja, os candidatos racionais são divisores inteiros de
sobre divisores inteiros de
. No nosso caso
e
. Os divisores de
são
. Os divisores de
são
. Logo os candidatos racionais são
Testamos esses candidatos até achar uma raiz racional. Testar é só calcular o polinômio naquele valor.
Passo 3
Testando alguns candidatos (vou mostrar os cálculos importantes):
Agora testemos
. Calculo:
Agora somamos passo a passo:
. Adicionando
fica
. Subtraindo
fica
. Somando
dá
. Logo
Isso significa que
é raiz racional, então o polinômio é divisível por
. Para manter coeficientes inteiros convém dividir por
, que é o mesmo fator multiplicado por
.
Passo 4
Vamos dividir o polinômio por
. Faço divisão polinomial com coeficientes inteiros para ficar claro:
Dividindo
por
:
-
Primeiro termo:
. Multiplicando . Subtraindo obtemos . A parte restante fica . -
Próximo termo:
. Multiplicando . Subtraindo obtemos . Resto . -
Próximo termo:
. Multiplicando . Subtraindo obtemos . Resto . -
Próximo termo:
. Multiplicando . Subtraindo obtemos resto .
Portanto a divisão é exata e o quociente é
Logo escrevemos
Passo 5
Agora fatoramos o polinômio cúbico
. Repetimos a ideia do Teorema das Raízes Racionais: candidatos são os mesmos tipos (divisores de
sobre divisores de
). Testemos alguns valores simples:
Testemos
:
Portanto
é raiz de
. Assim
é um fator de
.
Passo 6
Dividimos
por
. Faço a divisão:
-
Primeiro termo:
. Multiplicando . Subtraindo obtemos resto -
Agora dividimos
por : dá . Multiplicando . Subtraindo resto .
Logo o quociente é
e a divisão é exata:
Juntando com o passo anterior temos
Passo 7
Agora vamos falar sobre irreducibilidade em
. Fatores lineares como
e
são irreducíveis em
(são de grau
). O fator
tem grau
; para ser reduzível em
ele precisaria ter raízes racionais, ou seja, fatorar como produto de dois polinômios lineares com coeficientes racionais. As raízes de
são
, que não são números racionais. Portanto
é irreduzível em
. Concluímos que a fatoração em
já é feita por fatores irreduzíveis:
Passo 8
Para fatorar em
usamos que todo polinômio de grau
se fatora em
fatores lineares (Teorema Fundamental da Álgebra). O único fator que ainda pode ser decomposto é
. Em
temos a fatoração
Portanto, em
o polinômio se escreve como produto de fatores lineares: