Fatore o polinômio 4 x^{4}+8 x^{3}+7 x^{2}+8 x+3 em um produto de irredutíveis em \mathbb{Q}[x]. E depois em \mathbb{C}[x].

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: fatorar o polinômio em um produto de irreducíveis em \mathbb{Q}[x] e depois em \mathbb{C}[x]. As informações dadas são apenas o próprio polinômio
4x^{4}+8x^{3}+7x^{2}+8x+3.
Portanto as perguntas são:
  1. Qual é a fatoração em \mathbb{Q}[x]?\n
  2. Qual é a fatoração em \mathbb{C}[x]?\n
    Tenho que entregar as duas fatorações e mostrar passo a passo como chegar nelas.

Passo 2

Vamos usar uma estratégia clássica e simples para polinômios com coeficientes inteiros: o Teorema das Raízes Racionais (Rational Root Theorem). Vou explicar esse teorema de forma prática: se um polinômio com coefeficientes inteiros
a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0
tem uma raiz racional na forma \frac{p}{q} em que \gcd(p,q)=1, então p divide a_0 e q divide a_n. Ou seja, os candidatos racionais são divisores inteiros de a_0 sobre divisores inteiros de a_n. No nosso caso a_n=4 e a_0=3. Os divisores de 3 são \pm 1,\pm 3. Os divisores de 4 são \pm 1,\pm 2,\pm 4. Logo os candidatos racionais são
\pm 1,\\ \pm 3,\\ \pm \tfrac{1}{2},\\ \pm \tfrac{3}{2},\\ \pm \tfrac{1}{4},\\ \pm \tfrac{3}{4}.
Testamos esses candidatos até achar uma raiz racional. Testar é só calcular o polinômio naquele valor.

Passo 3

Testando alguns candidatos (vou mostrar os cálculos importantes):
\begin{aligned} P(1)&=4+8+7+8+3=30\neq 0,\\\ P(-1)&=4-8+7-8+3=-2\neq 0. \end{aligned}
Agora testemos \,x=-\tfrac{1}{2}. Calculo:
\begin{aligned} P\!\left(-\tfrac{1}{2}\right) &=4\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{4}+8\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{3}+7\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{2}+8\left(-\tfrac{1}{2}\right)+3\\\ &=4\cdot \tfrac{1}{16}+8\cdot\left(-\tfrac{1}{8}\right)+7\cdot\tfrac{1}{4}+8\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)+3\\\ &=\tfrac{1}{4}-1+\tfrac{7}{4}-4+3. \end{aligned}
Agora somamos passo a passo: \tfrac{1}{4}-1=-\tfrac{3}{4}. Adicionando \tfrac{7}{4} fica 1. Subtraindo 4 fica -3. Somando 3 0. Logo
P\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)=0.
Isso significa que x=-\tfrac{1}{2} é raiz racional, então o polinômio é divisível por (x+\tfrac{1}{2}). Para manter coeficientes inteiros convém dividir por (2x+1), que é o mesmo fator multiplicado por 2.

Passo 4

Vamos dividir o polinômio por (2x+1). Faço divisão polinomial com coeficientes inteiros para ficar claro:
Dividindo \,4x^{4}+8x^{3}+7x^{2}+8x+3 por (2x+1):
  • Primeiro termo: \dfrac{4x^{4}}{2x}=2x^{3}. Multiplicando (2x+1)\cdot 2x^{3}=4x^{4}+2x^{3}. Subtraindo obtemos 8x^{3}-2x^{3}=6x^{3}. A parte restante fica 6x^{3}+7x^{2}.
  • Próximo termo: \dfrac{6x^{3}}{2x}=3x^{2}. Multiplicando (2x+1)\cdot 3x^{2}=6x^{3}+3x^{2}. Subtraindo obtemos 7x^{2}-3x^{2}=4x^{2}. Resto 4x^{2}+8x.
  • Próximo termo: \dfrac{4x^{2}}{2x}=2x. Multiplicando (2x+1)\cdot 2x=4x^{2}+2x. Subtraindo obtemos 8x-2x=6x. Resto 6x+3.
  • Próximo termo: \dfrac{6x}{2x}=3. Multiplicando (2x+1)\cdot 3=6x+3. Subtraindo obtemos resto 0.
Portanto a divisão é exata e o quociente é
2x^{3}+3x^{2}+2x+3.
Logo escrevemos
4x^{4}+8x^{3}+7x^{2}+8x+3=(2x+1)\bigl(2x^{3}+3x^{2}+2x+3\bigr).

Passo 5

Agora fatoramos o polinômio cúbico Q(x)=2x^{3}+3x^{2}+2x+3. Repetimos a ideia do Teorema das Raízes Racionais: candidatos são os mesmos tipos (divisores de 3 sobre divisores de 2). Testemos alguns valores simples:
\begin{aligned} Q(-1)&=2(-1)^{3}+3(-1)^{2}+2(-1)+3=-2+3-2+3=2\neq 0,\\\ Q\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)&=2\left(-\tfrac{1}{8}\right)+3\left(\tfrac{1}{4}\right)+2\left(-\tfrac{1}{2}\right)+3=-\tfrac{1}{4}+\tfrac{3}{4}-1+3=\tfrac{5}{2}\neq 0. \end{aligned}
Testemos \,x=-\tfrac{3}{2}:
\begin{aligned} Q\!\left(-\tfrac{3}{2}\right) &=2\left(-\tfrac{3}{2}\right)^{3}+3\left(-\tfrac{3}{2}\right)^{2}+2\left(-\tfrac{3}{2}\right)+3\\\ &=2\left(-\tfrac{27}{8}\right)+3\left(\tfrac{9}{4}\right)-3+3\\\ &=-\tfrac{27}{4}+\tfrac{27}{4}-3+3=0. \end{aligned}
Portanto x=-\tfrac{3}{2} é raiz de Q(x). Assim 2x+3 é um fator de Q(x).

Passo 6

Dividimos Q(x)=2x^{3}+3x^{2}+2x+3 por (2x+3). Faço a divisão:
  • Primeiro termo: \dfrac{2x^{3}}{2x}=x^{2}. Multiplicando (2x+3)\cdot x^{2}=2x^{3}+3x^{2}. Subtraindo obtemos resto 0x^{2}+2x+3.
  • Agora dividimos 2x por 2x: dá 1. Multiplicando (2x+3)\cdot 1=2x+3. Subtraindo resto 0.
Logo o quociente é x^{2}+1 e a divisão é exata:
2x^{3}+3x^{2}+2x+3=(2x+3)(x^{2}+1).
Juntando com o passo anterior temos
4x^{4}+8x^{3}+7x^{2}+8x+3=(2x+1)(2x+3)(x^{2}+1).

Passo 7

Agora vamos falar sobre irreducibilidade em \mathbb{Q}[x]. Fatores lineares como (2x+1) e (2x+3) são irreducíveis em \mathbb{Q}[x] (são de grau 1). O fator x^{2}+1 tem grau 2; para ser reduzível em \mathbb{Q}[x] ele precisaria ter raízes racionais, ou seja, fatorar como produto de dois polinômios lineares com coeficientes racionais. As raízes de x^{2}+1 são \pm i, que não são números racionais. Portanto x^{2}+1 é irreduzível em \mathbb{Q}[x]. Concluímos que a fatoração em \mathbb{Q}[x] já é feita por fatores irreduzíveis:
(2x+1),\\ (2x+3),\\ x^{2}+1.

Passo 8

Para fatorar em \mathbb{C}[x] usamos que todo polinômio de grau n se fatora em n fatores lineares (Teorema Fundamental da Álgebra). O único fator que ainda pode ser decomposto é x^{2}+1. Em \mathbb{C} temos a fatoração
x^{2}+1=(x-i)(x+i).
Portanto, em \mathbb{C}[x] o polinômio se escreve como produto de fatores lineares:
(2x+1)(2x+3)(x-i)(x+i).

Resposta

\,4x^{4}+8x^{3}+7x^{2}+8x+3=(2x+1)(2x+3)(x^{2}+1) em \mathbb{Q}[x].\n
\,4x^{4}+8x^{3}+7x^{2}+8x+3=(2x+1)(2x+3)(x-i)(x+i) em \mathbb{C}[x].

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