Sabendo que i é raiz de f, deduza a fatoração completa de f em \mathbb{R}[x].
f=x^{4}-2 x^{3}+2 x^{2}-2 x+1

Passo 1

O enunciado dá o polinômio \;f(x)=x^{4}-2 x^{3}+2 x^{2}-2 x+1\; e informa que \;i\; (a unidade imaginária) é uma raiz de f. A tarefa é deduzir a fatoração completa de f em \mathbb{R}[x]. Informações relevantes dadas:
f(x)=x^{4}-2 x^{3}+2 x^{2}-2 x+1,
\text{\(i\) é raiz de \(f\)}.é
O que se pede: escrever f(x) como produto de fatores em \mathbb{R}[x] (fatores com coeficientes reais), mostrando claramente a fatoração completa.

Passo 2

Primeira ideia teórica importante (explicação didática): quando um polinômio tem coeficientes reais, se um número complexo z é raiz, então o conjugado complexo \overline{z} também é raiz. A razão simples:
\text{se }f(x)=a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0\text{ com }a_k\in\mathbb{R},
então, para qualquer z\in\mathbb{C},
\overline{f(z)}=f(\overline{z}).
Logo, se f(z)=0 então \overline{f(z)}=0 e assim f(\overline{z})=0. Aplicando isso aqui: como \;i é raiz e os coeficientes de f são reais, o conjugado de i, que é -i, também é raiz de f.

Passo 3

Do passo anterior concluímos que \;i e -i são raízes de f. Então (x-i) e (x+i) são fatores de f. Multiplicando esses dois fatores obtemos um fator com coeficientes reais:
(x-i)(x+i)=x^{2}+1.
Portanto \;x^{2}+1\; divide f(x).

Passo 4

Como \deg f=4 e \deg(x^{2}+1)=2, o quociente será um polinômio quadrático. Vamos escrever
f(x)=(x^{2}+1)(x^{2}+a x+b),
onde a,b são números reais desconhecidos que vamos determinar. Agora multiplicamos os fatores do lado direito para igualar com f(x). Fazendo a multiplicação:
(x^{2}+1)(x^{2}+a x+b)=x^{4}+a x^{3}+b x^{2}+x^{2}+a x+b.
Agrupando termos semelhantes:
(x^{2}+1)(x^{2}+a x+b)=x^{4}+a x^{3}+(b+1)x^{2}+a x+b.

Passo 5

Agora igualamos coeficientes entre a expressão anterior e f(x)=x^{4}-2 x^{3}+2 x^{2}-2 x+1. Comparando termo a termo:
  • Coeficiente de x^{3}: a=-2.
  • Coeficiente de x^{2}: b+1=2, logo b=1.
  • Coeficiente de x: a deve ser -2 (confere com o já encontrado a=-2).
  • Termo constante: b deve ser 1 (confere com b=1).
Assim o quociente é x^{2}-2x+1. Observação didática: x^{2}-2x+1 é um quadrado perfeito, porque
x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}.

Passo 6

Reunindo tudo, obtemos a fatoração em \mathbb{R}[x]:
f(x)=(x^{2}+1)(x-1)^{2}.
Comentário final e motivador: vimos que, a partir de a informação “i é raiz”, usamos o fato de coeficientes reais para garantir -i também é raiz, extraímos o fator quadrático x^{2}+1 e determinamos o restante por comparação de coeficientes — técnica simples e poderosa para polinômios.

Resposta

(x^{2}+1)(x-1)^{2}

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