Faça os gráficos das seguintes funções:
h(x)=\left|x^{2}-1\right|

Passo 1

O enunciado pede para “fazer o gráfico” da função h(x)=\left|x^{2}-1\right|. Vou listar claramente o que isso significa e quais informações já temos:
  • A função dada é h(x)=\left|x^{2}-1\right|.
  • Pergunta implícita: desenhar o gráfico no plano (x,y), ou seja, obter a curva que representa y=h(x) para todos os x\in\mathbb{R}.
  • Precisamos identificar pontos importantes (zeros, vértices), o comportamento para grandes |x|, e como a função muda onde o conteúdo do valor absoluto muda de sinal.
    Nada mais é pedido; a resolução começará no Passo 2.

Passo 2

Entender o valor absoluto e quando trocar o sinal. Conceito-chave: para qualquer expressão real u\), \[|u| = \begin{cases} u, & \text{se } u\ge 0,\\[4pt] -u, & \text{se } u<0. \end{cases}
Aqui u=x^{2}-1\]. Então precisamos achar onde \(x^{2}-1 é não negativo e onde é negativo. Isso se obtém resolvendo
x^{2}-1=0.
Resolvendo: x^{2}=1 x=1 e x=-1. Portanto:
  • Para x\le -1 e para x\ge 1 temos x^{2}-1\ge 0.
  • Para -1<x<1 temos x^{2}-1<0.]

Passo 3

Escrever a forma em partes (definição por partes). Usando a regra do valor absoluto aplicada a u=x^{2}-1\): \[h(x)=\left|x^{2}-1\right|= \begin{cases} x^{2}-1, & \text{se } |x|\ge 1,\\[4pt] -(x^{2}-1)=1-x^{2}, & \text{se } |x|<1. \end{cases}
Explicação didática: isso significa que para fora do intervalo [-1,1]\] o gráfico é o da parábola \(y=x^{2}-1 (parábola voltada para cima deslocada para baixo de 1), e para dentro de (-1,1) o gráfico é o da parábola y=1-x^{2} (parábola voltada para baixo com vértice em x=0).]

Passo 4

Identificar pontos-chave e valores notáveis (isso ajuda muito a desenhar):
  • Valor em x=0: h(0)=\left|0^{2}-1\right|=1. Então ponto (0,1).
  • Valores em x=\pm 1: h(\pm 1)=\left|1-1\right|=0. Então pontos (-1,0) e (1,0).
  • Interseção com o eixo y já é (0,1). Zeros da função são x=\pm 1.
  • Para x=2: h(2)=\left|4-1\right|=3 ⇒ ponto (2,3). Por simetria, h(-2)=3 (-2,3).
  • Para x=\pm\sqrt{2}\approx\pm1{,}414: h(\pm\sqrt{2})=\left|2-1\right|=1 ⇒ pontos (\pm\sqrt{2},1).
    Faça uma pequena tabela de valores para esboçar:
\begin{array}{c|c} x & h(x)\\hline -2 & 3\\\\ -1 & 0\\\\ -0{,}5 & 1-0{,}25=0{,}75\\\\ 0 & 1\\\\ 0{,}5 & 0{,}75\\\\ 1 & 0\\\\ 2 & 3 \end{array}

Passo 5

Descrever como montar o gráfico passo a passo (ou seja, como desenhar na prova, sem calculadora):
  1. Desenhe o esboço da parábola base y=x^{2}-1: é a parábola com vértice em (0,-1) que corta o eixo x em (-1,0) e (1,0). Mas não desenhe a parte entre -1 e 1 como essa parábola — apenas desenhe as “penas” externas (para |x|\ge1), porque no meio o sinal muda.
  2. Para a região -1<x<1, desenhe a parábola invertida y=1-x^{2}. Essa parábola tem vértice em (0,1) e também passa por (-1,0) e (1,0).
  3. Os dois arcos se encontram suavemente em x=\pm1 no valor 0. Ligue os pontos com as curvas apropriadas: fora do intervalo use o arco ascendente de x^{2}-1, dentro do intervalo use o arco descendente de 1-x^{2}.
  4. Observe simetria: a função é par, isto é, h(-x)=h(x). Portanto o lado esquerdo é espelho do direito — facilita o desenho.
  5. Marque os pontos importantes listados no Passo 4 para garantir que a forma está correta.

Passo 6

Comportamento assintótico e domínio/contrafluxo — o que anotar no rascunho:
  • Dominio: todos os reais, isto é, \mathrm{Dom}(h)=\mathbb{R}.
  • Para |x|\to\infty, como h(x)=x^{2}-1 quando |x|\ge1, temos \lim_{x\to\pm\infty}h(x)=+\infty. Portanto as “penas” externas crescem como x^{2}.
  • Intervalo imagem (contradomínio efetivo): \mathrm{Im}(h)=[0,+\infty) porque o mínimo é 0 (em x=\pm1) e não há valor negativo.

Passo 7

Suavidade (continuidade e derivabilidade) — o que esperar na prova:
  • Continuidade: h\) é contínua em todo \(\mathbb{R}\). Justificativa simples: ambas as expressões \(x^{2}-1\) e \(1-x^{2}\) são contínuas e coincidem em \(x=\pm1\), então a função por partes é contínua. - Derivabilidade: calcular a derivada das duas partes: \[h'(x)=\begin{cases} 2x, & \text{se } |x|>1,\\[4pt] -2x, & \text{se } |x|<1. \end{cases}Em x=0\] temos \(h'(0)=0 (derivada pela parte interior). Em x=1 a derivada pela esquerda é -2\cdot 1=-2 e pela direita é 2\cdot 1=2; elas não coincidem, logo h NÃO é diferenciável em x=\pm1 (há “canto” nesses pontos). Nota prática: isso aparece graficamente como um vértice/aresta nos pontos (-1,0) e (1,0).]

Passo 8

Resumo prático para desenhar rápido na prova (mini-guia):
  • Marque (-1,0), (0,1), (1,0).
  • Pelo ponto (0,1) desenhe um arco de parábola voltado para baixo até atingir (-1,0) e (1,0).
  • A partir de (-1,0) e (1,0) desenhe os arcos da parábola y=x^{2}-1 para as direções -\infty e +\infty respectivamente.
  • Use simetria par para garantir que os dois lados são idênticos.
  • Anote: domínio \mathbb{R}, imagem [0,\infty), não diferenciável em x=\pm1.

Resposta

h(x)=\left|x^{2}-1\right|= \begin{cases} x^{2}-1, & \text{se } |x|\ge 1,\\[4pt] 1-x^{2}, & \text{se } |x|<1, \end{cases}
Domínio: \mathbb{R}.
Imagem: [0,\infty).
Pontos notáveis: (-1,0), (0,1), (1,0).
Simetria: função par ( h(-x)=h(x)).]

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