Fatore as seguintes expressões:
8 x^{3}-y^{3}

Passo 1

O enunciado dá a expressão a ser fatorada:
8x^{3}-y^{3}.
O que se pede: fatorar completamente essa expressão (escrever como produto de fatores).

Passo 2

Observar a forma dos termos. Note que
8x^{3}=(2x)^{3}\qquad\text{e}\qquad y^{3}=y^{3}.
Portanto a expressão pode ser escrita como uma diferença de cubos:
(2x)^{3}-y^{3}.

Passo 3

Usar a identidade de fatoração da diferença de cubos. A fórmula geral é
a^{3}-b^{3}=(a-b)\,(a^{2}+ab+b^{2}),
onde a e b são quaisquer expressões algébricas. Vou mostrar por que essa fórmula vale, expandindo o lado direito passo a passo:
(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=a\cdot a^{2}+a\cdot ab+a\cdot b^{2}-b\cdot a^{2}-b\cdot ab-b\cdot b^{2}.
Agora agrupar os termos:
= a^{3}+a^{2}b+ab^{2}-a^{2}b-ab^{2}-b^{3}.
Os termos a^{2}b e ab^{2} aparecem com sinais opostos e se cancelam, sobrando
= a^{3}-b^{3},
que é exatamente o lado esquerdo. Assim a identidade está comprovada.

Passo 4

Aplicar a identidade com a=2x e b=y. Primeiro calcular os subcomponentes:
a-b=2x-y,
a^{2}=(2x)^{2}=4x^{2},
ab=(2x)\,y=2xy,
b^{2}=y^{2}.
Substituindo na fórmula,
(2x)^{3}-y^{3}=(2x-y)\bigl(4x^{2}+2xy+y^{2}\bigr).

Passo 5

Verificação por expansão (para ter certeza de que não houve erro):
(2x-y)(4x^{2}+2xy+y^{2})=
2x\cdot4x^{2}+2x\cdot2xy+2x\cdot y^{2}-y\cdot4x^{2}-y\cdot2xy-y\cdot y^{2}
=8x^{3}+4x^{2}y+2xy^{2}-4x^{2}y-2xy^{2}-y^{3}
=8x^{3}-y^{3},
confirmando que a fatoração está correta.

Passo 6

Observação final sobre irreducibilidade: o fator quadrático 4x^{2}+2xy+y^{2}, visto como polinômio em x com coeficientes em termos de y, tem discriminante
\Delta=(2y)^{2}-4\cdot4\cdot y^{2}=4y^{2}-16y^{2}=-12y^{2}\le 0.
Se y\neq 0 então \Delta<0 e esse quadrático não fatora em fatores lineares com coeficientes reais ou racionais; se y=0 a expressão original e a fatoração ficam triviais. Ou seja, a fatoração obtida é a fatoração completa sobre os racionais.

Resposta

(2x-y)\,(4x^{2}+2xy+y^{2})

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