Fatore as seguintes expressões:
Passo 1
O enunciado dá a expressão a ser fatorada:
O que se pede: fatorar completamente essa expressão (escrever como produto de fatores).
Passo 2
Observar a forma dos termos. Note que
Portanto a expressão pode ser escrita como uma diferença de cubos:
Passo 3
Usar a identidade de fatoração da diferença de cubos. A fórmula geral é
onde
e
são quaisquer expressões algébricas. Vou mostrar por que essa fórmula vale, expandindo o lado direito passo a passo:
Agora agrupar os termos:
Os termos
e
aparecem com sinais opostos e se cancelam, sobrando
que é exatamente o lado esquerdo. Assim a identidade está comprovada.
Passo 4
Aplicar a identidade com
e
. Primeiro calcular os subcomponentes:
Substituindo na fórmula,
Passo 5
Verificação por expansão (para ter certeza de que não houve erro):
confirmando que a fatoração está correta.
Passo 6
Observação final sobre irreducibilidade: o fator quadrático
, visto como polinômio em
com coeficientes em termos de
, tem discriminante
Se
então
e esse quadrático não fatora em fatores lineares com coeficientes reais ou racionais; se
a expressão original e a fatoração ficam triviais. Ou seja, a fatoração obtida é a fatoração completa sobre os racionais.