Fatore as seguintes raizes e simplifique os radicais:
a) raiz 1260
b) raiz[3]108

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de fatoração de raízes e simplificação de radicais. A gente vai trabalhar com radicais quadrados e cúbicos aqui. Para resolver, vamos precisar fatorar os números dentro das raízes em fatores primos e identificar os fatores que podem ser simplificados.

Passo 2

Vamos começar pelo item a), que é simplificar a raiz quadrada de 1260, ou seja, raiz1260.
Primeiro, precisamos fatorar 1260 em números primos. A fatoração prima é quando você divide o número pelo menor número primo possível até chegar ao número 1. Vamos lá:
1260 ÷ 2 = 630
630 ÷ 2 = 315
315 ÷ 3 = 105
105 ÷ 3 = 35
35 ÷ 5 = 7
7 ÷ 7 = 1
Então, a fatoração de 1260 é:
1260 = 2 times 2 times 3 times 3 times 5 times 7

Passo 3

Agora que temos a fatoração, vamos reescrever a raiz quadrada usando esses fatores:
raiz1260 = raiz2 times 2 times 3 times 3 times 5 times 7
Para simplificar, lembramos que raiza times a = a. Então, cada par de números iguais pode sair da raiz:
  • 2 times 2 = 2^2, então raiz2^2 = 2
  • 3 times 3 = 3^2, então raiz3^2 = 3
Ficando:
raiz1260 = 2 times 3 times raiz5 times 7
raiz1260 = 6 raiz35

Passo 4

Agora, vamos para o item b), que é simplificar a raiz cúbica de 108, ou seja, raiz[3]108.
Primeiro, fazemos a fatoração prima de 108:
108 ÷ 2 = 54
54 ÷ 2 = 27
27 ÷ 3 = 9
9 ÷ 3 = 3
3 ÷ 3 = 1
Então, a fatoração de 108 é:
108 = 2 times 2 times 3 times 3 times 3

Passo 5

Agora, reescrevemos a raiz cúbica usando esses fatores:
raiz[3]108 = raiz[3]2 times 2 times 3 times 3 times 3
Para simplificar, lembramos que raiz[3]a times a times a = a. Então, cada trio de números iguais pode sair da raiz:
  • 3 times 3 times 3 = 3^3, então raiz[3]3^3 = 3
Ficando:
raiz[3]108 = 3 times raiz[3]2 times 2
raiz[3]108 = 3 raiz[3]4

Resposta

a) raiz1260 = 6raiz35
b) raiz[3]108 = 3raiz[3]4

Exercícios relacionados