Determine o conjunto das soluções da equação log 2(x^2-1)=log x^2-1 2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de logaritmos log2(x^2-1)=logx^2-12. O conteúdo aqui é mudança de base e propriedades de logaritmos. Para resolver, vamos precisar: 1) garantir o domínio de definição dos logaritmos 2) usar a relação logab=1/logba.

Passo 2

Começamos analisando o domínio. Definimos y=x^2-1. Para log2(y) faz sentido, precisa ter y>0. Para logy(2) o base y deve ser positiva e diferente de 1, e o argumento 2 já é positivo. Logo
y>0e yneq1

Passo 3

Substituímos y=x^2-1 na equação original:
log2(y)=logy(2)

Passo 4

Aplicamos a mudança de base logy(2)=1/log2(y). Definimos t=log2(y). Assim a equação vira
t=1t,que leva a
t^2=1Longrightarrow t=pm1

Passo 5

Voltando a y, temos y=2^t. Logo:
t=1implies y=2^1=2, t=-1implies y=2^-1=tfrac12

Passo 6

Agora retornamos a x pela relação y=x^2-1:
x^2-1=2implies x^2=3implies x=pmraiz3, x^2-1=tfrac12implies x^2=tfrac32implies x=pmraiztfrac32

Passo 7

Por fim, verificamos o domínio: todas as raízes encontradas satisfazem |x|>1 e evitam x^2-1=1 (que daria base 1 no logaritmo). Portanto todas são válidas.

Resposta

O conjunto-­solução é {,±√3, ±√(3/2)}.

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