Fatore:
Passo 1
O enunciado pede para fatorar o polinômio
.\n
Informações dadas: o polinômio é de grau e seus coeficientes (do termo de maior grau para o termo independente) são
.\n
Objetivo final: escrever esse polinômio como produto de fatores polinomiais mais simples (ideais: fatores lineares e/ou quadráticos facilmente reconhecíveis).
Informações dadas: o polinômio é de grau
Objetivo final: escrever esse polinômio como produto de fatores polinomiais mais simples (ideais: fatores lineares e/ou quadráticos facilmente reconhecíveis).
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática do porquê): uma técnica muito prática para polinômios de grau
é a fatoração por agrupamento — que costuma ser a mais simples quando os termos podem ser agrupados em pares com fatores comuns. Vou usar agrupamento como método principal porque aqui os termos se prestam bem a isso; depois faço uma checagem rápida por divisão sintética para você ver outra forma (útil na prova se o agrupamento não aparecer de cara).
Passo 3
Aplicando fatoração por agrupamento: separamos o polinômio em dois pares de termos e colocamos parênteses para enxergar fatores em comum:
Agora fatoramos cada par por fator comum.
Passo 4
Fatorando cada par:
Note que em ambos os pares apareceu o fator comum
. Isso é justamente o que queremos numa fatoração por agrupamento.
Passo 5
Colocando o fator comum
em evidência:
Ou seja, conseguimos reduzir o cubo para um produto entre
e um quadrático
.
Passo 6
Fatorando o quadrático
: reconheça que é uma diferença de quadrados. A fórmula da diferença de quadrados é
Aqui
e
, então
Passo 7
Substituindo de volta na expressão obtida no passo anterior:
Organizando os fatores em ordem usual (fator linear primeiro) obtemos
Passo 8
Verificação rápida (checagem alternativa por raiz racional e divisão sintética): pelo Teorema das Raízes Racionais, candidatos são
. Avaliando
, logo
é raiz e
é fator. Dividindo
por
(divisão sintética com
):
coeficientes :
trazendo para baixo dá
;
multiplica , soma com
dá
;
multiplica , soma com
dá
;
multiplica , soma com
dá
(resto).
Quociente tem coeficientes , ou seja o quadrático
, que é
. Isso confirma o resultado anterior.
coeficientes
trazendo
multiplica
multiplica
multiplica
Quociente tem coeficientes