Fatore:
x^{3}+x^{2}-x-1=

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o polinômio \;x^{3}+x^{2}-x-1.\n
Informações dadas: o polinômio é de grau 3 e seus coeficientes (do termo de maior grau para o termo independente) são 1,\,1,\,-1,\,-1.\n
Objetivo final: escrever esse polinômio como produto de fatores polinomiais mais simples (ideais: fatores lineares e/ou quadráticos facilmente reconhecíveis).

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática do porquê): uma técnica muito prática para polinômios de grau 3 é a fatoração por agrupamento — que costuma ser a mais simples quando os termos podem ser agrupados em pares com fatores comuns. Vou usar agrupamento como método principal porque aqui os termos se prestam bem a isso; depois faço uma checagem rápida por divisão sintética para você ver outra forma (útil na prova se o agrupamento não aparecer de cara).

Passo 3

Aplicando fatoração por agrupamento: separamos o polinômio em dois pares de termos e colocamos parênteses para enxergar fatores em comum:
x^{3}+x^{2}-x-1 = (x^{3}+x^{2}) + (-x-1).
Agora fatoramos cada par por fator comum.

Passo 4

Fatorando cada par:
x^{3}+x^{2} = x^{2}(x+1),
-x-1 = -1(x+1).
Note que em ambos os pares apareceu o fator comum (x+1). Isso é justamente o que queremos numa fatoração por agrupamento.

Passo 5

Colocando o fator comum (x+1) em evidência:
(x^{3}+x^{2}) + (-x-1) = x^{2}(x+1) - 1(x+1) = (x+1)\bigl(x^{2}-1\bigr).
Ou seja, conseguimos reduzir o cubo para um produto entre (x+1) e um quadrático \;x^{2}-1.

Passo 6

Fatorando o quadrático \;x^{2}-1: reconheça que é uma diferença de quadrados. A fórmula da diferença de quadrados é
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aqui a=x e b=1, então
x^{2}-1=(x-1)(x+1).

Passo 7

Substituindo de volta na expressão obtida no passo anterior:
(x+1)\bigl(x^{2}-1\bigr) = (x+1)\bigl((x-1)(x+1)\bigr) = (x+1)^{2}(x-1).
Organizando os fatores em ordem usual (fator linear primeiro) obtemos
(x-1)(x+1)^{2}.

Passo 8

Verificação rápida (checagem alternativa por raiz racional e divisão sintética): pelo Teorema das Raízes Racionais, candidatos são \pm1. Avaliando \;f(1)=1+1-1-1=0, logo x=1 é raiz e (x-1) é fator. Dividindo \;x^{3}+x^{2}-x-1 por (x-1) (divisão sintética com 1):
coeficientes 1,\;1,\;-1,\;-1:
trazendo 1 para baixo dá 1;
multiplica 1\cdot1=1, soma com 1 2;
multiplica 2\cdot1=2, soma com -1 1;
multiplica 1\cdot1=1, soma com -1 0 (resto).
Quociente tem coeficientes 1,\,2,\,1, ou seja o quadrático x^{2}+2x+1, que é (x+1)^{2}. Isso confirma o resultado anterior.

Resposta

(x-1)(x+1)^{2}

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