Fatore:
a^{2}-16 a+64=

Passo 1

O enunciado pede para fatorar a expressão
a^{2}-16 a+64.
Informações dadas e o que precisamos: temos um polinômio quadrático em a com coeficientes — termo quadrático 1, termo linear -16 (multiplicando a) e termo constante 64. A pergunta é: em que produto de fatores (polinômios de grau menor) essa expressão pode ser escrita?

Passo 2

Vamos pensar em um padrão muito útil: identidade do quadrado perfeito. A identidade é
(x-b)^{2} = x^{2}-2b x+b^{2},
onde x é a variável e b é qualquer número. Nessa fórmula:
  • x^{2} é o termo quadrático,
  • -2b x é o termo linear,
  • b^{2} é o termo constante.
A ideia é verificar se nossa expressão tem a forma da direita para algum valor de b.

Passo 3

Compare a nossa expressão com a identidade. Aqui a variável é a. Observe o termo linear -16a. Na identidade o termo linear é -2b a. Igualando:
-2b = -16.
Resolve-se para b:
b = \frac{-16}{-2} = 8.

Passo 4

Verifique o termo constante com esse b: calcule b^{2}.
b^{2} = 8^{2} = 64.
Esse valor coincide com o termo constante da expressão original (que é 64). Portanto, todos os termos batem com a identidade do quadrado perfeito para b=8.

Passo 5

Reescreva a expressão usando b=8:
a^{2}-16a+64 = a^{2}-2\cdot 8\cdot a + 8^{2}.
Pelo padrão do quadrado perfeito, isso é exatamente
(a-8)^{2}.

Passo 6

Como checagem rápida, faça a expansão de (a-8)^{2} para confirmar:
(a-8)^{2} = (a-8)(a-8) = a^{2}-8a-8a+64 = a^{2}-16a+64,
que é a expressão original. Tudo confere.

Resposta

(a-8)^{2}

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