Fatores os Polinômio abaixo:
18 x^{3} y-9 x^{2} y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o polinômio abaixo, ou seja, escrever como produto de fatores:
18 x^{3} y - 9 x^{2} y^{2}
Informações dadas que vamos usar:
  • São dois termos: 18 x^{3} y e -9 x^{2} y^{2}.
  • Coeficientes numéricos: 18 e 9.
  • Variáveis e expoentes presentes: em 18 x^{3} y os expoentes são x^{3} e y^{1}; em 9 x^{2} y^{2} os expoentes são x^{2} e y^{2}.
    O objetivo é retirar o maior fator comum desses termos e reescrever o polinômio como esse fator comum multiplicando uma expressão mais simples.

Passo 2

Encontrar o máximo divisor comum (MDC) dos coeficientes numéricos 18 e 9. Vou fazer a fatoração prima para ver claramente:
18 = 2 \cdot 3^{2},\qquad 9 = 3^{2}.
O MDC dos coeficientes é o produto dos fatores primos em comum com os menores expoentes, aqui é 3^{2}=9. Então a parte numérica do fator comum é 9.

Passo 3

Encontrar o fator comum nas variáveis. Regra prática: o expoente comum para cada variável é o menor expoente que aparece nos termos.
  • Para x: expoentes são 3 e 2, o menor é 2. Logo o fator comum contém x^{2}.
  • Para y: expoentes são 1 e 2, o menor é 1. Logo o fator comum contém y^{1} (escrevemos simplesmente y).
Portanto a parte literal (variáveis) do fator comum é x^{2}y.

Passo 4

Juntando a parte numérica e a parte literal, o maior fator comum entre os dois termos é
9 x^{2} y.
Este é o monômio que podemos colocar em evidência (fator comum).

Passo 5

Agora calculo os quocientes de cada termo quando dividido por esse fator comum — isso mostra o que fica dentro dos parênteses após a fatoração.
Dividindo o primeiro termo:
\frac{18 x^{3} y}{9 x^{2} y} = \frac{18}{9}\cdot \frac{x^{3}}{x^{2}}\cdot \frac{y}{y} = 2 \cdot x \cdot 1 = 2x.
Dividindo o segundo termo (note o sinal negativo do segundo termo original):
\frac{9 x^{2} y^{2}}{9 x^{2} y} = \frac{9}{9}\cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}\cdot \frac{y^{2}}{y} = 1\cdot 1 \cdot y = y.
Os quocientes são 2x (do primeiro termo) e y (do segundo termo). Como o segundo termo no polinômio original é subtraído, dentro dos parênteses teremos a diferença desses quocientes: 2x - y.

Passo 6

Explicando a ideia de forma geral e prática (para a prova):
  • Para fatorar por fator comum, sempre faça três coisas: (i) encontre o MDC dos coeficientes numéricos; (ii) para cada variável, escolha o menor expoente presente nos termos; (iii) divida cada termo pelo monômio obtido e coloque o monômio em evidência multiplicando a soma (ou diferença) dos quocientes.
  • Cheque sempre multiplicando de volta (distribuição) para confirmar que não houve erro: multiplicar 9 x^{2} y pelos quocientes deve dar os termos originais.
Vou deixar a expressão final exatamente na seção de resposta abaixo.

Resposta

9 x^{2} y (2 x - y)

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