Fatores os Polinômio abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para fatorar o polinômio abaixo, ou seja, escrever como produto de fatores:
Informações dadas que vamos usar:
- São dois termos:
e . - Coeficientes numéricos:
e . - Variáveis e expoentes presentes: em
os expoentes são e ; em os expoentes são e .
O objetivo é retirar o maior fator comum desses termos e reescrever o polinômio como esse fator comum multiplicando uma expressão mais simples.
Passo 2
Encontrar o máximo divisor comum (MDC) dos coeficientes numéricos
e
. Vou fazer a fatoração prima para ver claramente:
O MDC dos coeficientes é o produto dos fatores primos em comum com os menores expoentes, aqui é
. Então a parte numérica do fator comum é
.
Passo 3
Encontrar o fator comum nas variáveis. Regra prática: o expoente comum para cada variável é o menor expoente que aparece nos termos.
- Para
: expoentes são e , o menor é . Logo o fator comum contém . - Para
: expoentes são e , o menor é . Logo o fator comum contém (escrevemos simplesmente ).
Portanto a parte literal (variáveis) do fator comum é
.
Passo 4
Juntando a parte numérica e a parte literal, o maior fator comum entre os dois termos é
Este é o monômio que podemos colocar em evidência (fator comum).
Passo 5
Agora calculo os quocientes de cada termo quando dividido por esse fator comum — isso mostra o que fica dentro dos parênteses após a fatoração.
Dividindo o primeiro termo:
Dividindo o segundo termo (note o sinal negativo do segundo termo original):
Os quocientes são
(do primeiro termo) e
(do segundo termo). Como o segundo termo no polinômio original é subtraído, dentro dos parênteses teremos a diferença desses quocientes:
.
Passo 6
Explicando a ideia de forma geral e prática (para a prova):
- Para fatorar por fator comum, sempre faça três coisas: (i) encontre o MDC dos coeficientes numéricos; (ii) para cada variável, escolha o menor expoente presente nos termos; (iii) divida cada termo pelo monômio obtido e coloque o monômio em evidência multiplicando a soma (ou diferença) dos quocientes.
- Cheque sempre multiplicando de volta (distribuição) para confirmar que não houve erro: multiplicar
pelos quocientes deve dar os termos originais.
Vou deixar a expressão final exatamente na seção de resposta abaixo.