Fatores os Polinômio abaixo:
15 a b^{2}-10 a b

Passo 1

O que o enunciado pede: fatorar o polinômio dado.
Informações fornecidas (copiadas do enunciado): 15 a b^{2}-10 a b.
Ou seja, temos dois monômios somados (subtraídos): o primeiro é 15ab^{2} e o segundo é 10ab. O objetivo é escrever essa expressão como um produto de fatores (extrair o fator comum).

Passo 2

Procurar o maior fator numérico comum entre os coeficientes 15 e 10. Vou achar o máximo divisor comum (MDC) de 15 e 10.
  • Divisores de 15: 1,\,3,\,5,\,15.
  • Divisores de 10: 1,\,2,\,5,\,10.
    O maior divisor comum é 5. Portanto o fator numérico comum é 5.
(Outra forma: usar o algoritmo de Euclides: 15=10\cdot1+5, 10=5\cdot2+0 → MDC =5.)

Passo 3

Procurar o fator literal (variáveis) comum em ambos os termos.
  • No primeiro termo 15ab^{2} aparecem as variáveis a e b^{2}.
  • No segundo termo 10ab aparecem as variáveis a e b.
Para cada variável, o fator comum é a menor potência que aparece nos dois termos:
  • Para a: aparece como a em ambos → potência comum a (ou a^{1}).
  • Para b: aparece como b^{2} e b → potência comum b (ou b^{1}).
Portanto o fator literal comum é ab.

Passo 4

Juntando o fator numérico e o literal, o fator comum total é 5ab.
Agora escrevemos cada termo como esse fator comum multiplicando algo:
  • Verificar o primeiro termo: 15ab^{2} = 5ab \cdot (\text{?}). Para achar o que está no lugar do \text{?}, dividimos 15ab^{2} por 5ab:
\frac{15ab^{2}}{5ab} = \frac{15}{5}\cdot\frac{a}{a}\cdot\frac{b^{2}}{b} = 3\cdot1\cdot b = 3b.
Logo 15ab^{2} = 5ab\cdot 3b.
  • Verificar o segundo termo: 10ab = 5ab \cdot (\text{?}). Dividindo:
\frac{10ab}{5ab} = \frac{10}{5}\cdot\frac{a}{a}\cdot\frac{b}{b} = 2\cdot1\cdot1 = 2.
Logo 10ab = 5ab\cdot 2.
Como o segundo termo é subtraído, temos 15ab^{2}-10ab = 5ab\cdot 3b - 5ab\cdot 2.

Passo 5

Aplicar a propriedade distributiva ao fator comum 5ab:
15ab^{2}-10ab = 5ab\cdot 3b - 5ab\cdot 2 = 5ab\,(3b) - 5ab\,(2) = 5ab\,(3b-2).
Pronto — a expressão está fatorada.

Passo 6

Verificação rápida: expandir o resultado fatorado para conferir que volta ao original.
5ab(3b-2)=5ab\cdot 3b - 5ab\cdot 2 = 15ab^{2}-10ab,
que é exatamente a expressão inicial. Confere.

Passo 7

Dica para a prova (rápida e prática): sempre tente primeiro extrair o maior fator comum (numérico e literal). Isso normalmente resolve polinômios com poucos termos. Se sobrar um binômio simples (como aqui 3b-2), já está pronto.
Força aí — dá para fazer rápido na prova!

Resposta

5ab(3b-2)

Exercícios relacionados