Em uma fazenda de criação de gado, máquinas pesadas são utilizadas para ceifar o feno. Como parte de um sistema de lubrificação estas máquinas, um óleo de densidade igual a
é bombeado através de um tubo cilíndrico de 15 cm de diâmetro a uma taxa de
por segundo.
Se o diâmetro do tubo for reduzido a metade devido ao acúmulo de resíduos, quais serão os novos valores para a velocidade e a vazão volumétrica? Considere o óleo imcompressível.
Se o diâmetro do tubo for reduzido a metade devido ao acúmulo de resíduos, quais serão os novos valores para a velocidade e a vazão volumétrica? Considere o óleo imcompressível.
Passo 1
Nesta questão, vamos analisar o fluxo de óleo em um tubo cilíndrico utilizado em máquinas de uma fazenda de gado. O conteúdo envolvido é a Dinâmica dos Fluidos, especificamente a Equação da Continuidade para fluidos incompressíveis. Para resolver, vamos precisar calcular as áreas das seções transversais do tubo antes e depois da redução do diâmetro, e relacionar essas áreas com as velocidades e vazões volumétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área da seção transversal do tubo inicial. A área $ A $ de um círculo é dada por:
onde $ D $ é o diâmetro do tubo.
Passo 3
Dado que o diâmetro inicial do tubo é $ D_1 = 15 , cm = 0,15 , m $, a área inicial $ A_1 $ é:
Passo 4
A vazão volumétrica inicial é $ Q_1 = 11,5 , L/s = 0,0115 , m^3/s $.
A velocidade inicial $ v_1 $ pode ser encontrada usando a relação:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, o diâmetro do tubo é reduzido à metade, ou seja, $ D_2 = \frac{D_1}{2} = 0,075 , m $.
Vamos calcular a nova área $ A_2 $:
Passo 6
Como o óleo é considerado incompressível, a vazão volumétrica $ Q $ se mantém constante. Portanto, $ Q_2 = Q_1 = 0,0115 , m^3/s $.
A nova velocidade $ v_2 $ pode ser calculada por:
Substituindo os valores:
Resposta
Após a redução do diâmetro do tubo pela metade, a nova velocidade do óleo será aproximadamente $ 2,6 , m/s $ e a vazão volumétrica permanecerá em $ 11,5 , L/s $.