Calcule a derivada direcional Da função
no ponto
na direção do vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente da função e a normalização de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a derivada direcional. Ela nos dá a taxa de variação da função
na direção de um vetor específico. Para calcular isso, precisamos encontrar o gradiente da função
e o vetor unitário na direção de
.
Passo 3
Vamos começar encontrando o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Calculando as derivadas:
Então, o gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 5
Em seguida, precisamos trabalhar com o vetor
. Para usarmos esse vetor na fórmula da derivada direcional, ele precisa ser um vetor unitário, ou seja, ter comprimento 1. Vamos calcular o comprimento de
:
Agora, vamos transformar
em um vetor unitário
:
Passo 6
A fórmula da derivada direcional
é dada pelo produto escalar do gradiente
com o vetor unitário
:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 7
Agora, vamos calcular o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
é: