Calcule a derivada direcional Da função f(x, y) = x^2 + y^2 no ponto P = (1, 2) na direção do vetor u = (2, -3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente da função e a normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a derivada direcional. Ela nos dá a taxa de variação da função na direção de um vetor específico. Para calcular isso, precisamos encontrar o gradiente da função e o vetor unitário na direção de .

Passo 3

Vamos começar encontrando o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e :
Calculando as derivadas:
Então, o gradiente é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 5

Em seguida, precisamos trabalhar com o vetor . Para usarmos esse vetor na fórmula da derivada direcional, ele precisa ser um vetor unitário, ou seja, ter comprimento 1. Vamos calcular o comprimento de :
Agora, vamos transformar em um vetor unitário :

Passo 6

A fórmula da derivada direcional é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor unitário :
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 7

Agora, vamos calcular o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional da função no ponto na direção do vetor é:

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