Um fazendeiro dispõe de 400 hectares de terra cultivável e está interessado em decidir sobre o que vai plantar no próximo ano. Ele tem dúvidas a respeito de três produtos: milho, soja e trigo. Por outro lado, ele tem certeza de que quer plantar em toda a propriedade. O plantio de milho requer investimentos de R , 20 homens-dia de trabalho para preparar um ha, e promove um lucro de , 20 homens-dia de trabalho para preparar um ha, e promove um lucro de . 0 trigo requer 600,00 / ha investidos, promove R de lucro e demanda 30 homens-dia de trabalho para preparar um ha. Finalmente, a soja demanda 24 homens-dia, R$ investidos, promove de investimentos e gera um lucro de R$400,00. Dado o nível atual de desemprego, não existe limitação de mão de obra na região. Por outro lado, o fazendeiro só tem 800,00 para investir em sua fazenda no próximo ano. Formule um modelo de programação linear para maximizar o lucro do fazendeiro, atendendo às restrições de recursos disponíveis.

Passo 1

Beleza, vamo entender o que o exercício tá pedindo. É um problema de Programação Linear: temos 400 ha de terra e R$ 800 000 de investimento, sem limite de mão-de-obra. O fazendeiro pode plantar milho, trigo ou soja em cada hectare. Cada cultura exige certo investimento por ha e gera um lucro por ha. A gente precisa montar um modelo de otimização (maximizar lucro) sujeita às restrições de terra e de dinheiro.
Conteúdo: Programação Linear (variáveis de decisão, função objetivo, restrições).
O que vamos precisar:
  • Definir variáveis para as áreas de cada cultura.
  • Montar a função objetivo (lucro total).
  • Escrever as restrições (terra e investimento).

Passo 2

Definindo as variáveis de decisão (é o coração do modelo):
= área plantada com milho (em hectares)
= área plantada com trigo (em hectares)
= área plantada com soja (em hectares)

Passo 3

Função objetivo: somar o lucro de cada hectare vezes a área plantada. Como lucro por ha de milho é R$ 600, de trigo R$ 800 e de soja R$ 400, a função fica:
600, de trigo R

Passo 4

Restrições:
  1. Restrição de terra: a soma das áreas não pode passar de 400 ha.
x1 ;+; x2 ;+; x3 ;<=; 400
  1. Restrição de investimento: milho custa R$ 2000/ha, trigo R$ 2400/ha e soja R$ 1400/ha. O total gasto não pode ultrapassar R$ 800 000:
2000/ha, trigo R

Passo 5

Não negatividade: não faz sentido área negativa.
x1 ;>=; 0, x2 ;>=; 0, x3 ;>=; 0

Resposta

Modelo de Programação Linear completo:
Maximizar
Z = 600,x1 + 800,x2 + 400,x3
sujeito a
x1 + x2 + x3 <= 400,[6pt] 2000,x1 + 2400,x2 + 1400,x3 <= 800000,[6pt] x1, x2, x3 >= 0

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