Um fazendeiro dispõe de 400 hectares de terra cultivável e está interessado em decidir sobre o que vai plantar no próximo ano. Ele tem dúvidas a respeito de três produtos: milho, soja e trigo. Por outro lado, ele tem certeza de que quer plantar em toda a propriedade. O plantio de milho requer investimentos de
, 20 homens-dia de trabalho para preparar um ha, e promove um lucro de
. 0 trigo requer
investidos, promove
de lucro e demanda 30 homens-dia de trabalho para preparar um ha. Finalmente, a soja demanda 24 homens-dia, R$
de investimentos e gera um lucro de R$400,00. Dado o nível atual de desemprego, não existe limitação de mão de obra na região. Por outro lado, o fazendeiro só tem
para investir em sua fazenda no próximo ano. Formule um modelo de programação linear para maximizar o lucro do fazendeiro, atendendo às restrições de recursos disponíveis.
Passo 1
Beleza, vamo entender o que o exercício tá pedindo. É um problema de Programação Linear: temos 400 ha de terra e R$ 800 000 de investimento, sem limite de mão-de-obra. O fazendeiro pode plantar milho, trigo ou soja em cada hectare. Cada cultura exige certo investimento por ha e gera um lucro por ha. A gente precisa montar um modelo de otimização (maximizar lucro) sujeita às restrições de terra e de dinheiro.
Conteúdo: Programação Linear (variáveis de decisão, função objetivo, restrições).
O que vamos precisar:
- Definir variáveis para as áreas de cada cultura.
- Montar a função objetivo (lucro total).
- Escrever as restrições (terra e investimento).
Passo 2
Definindo as variáveis de decisão (é o coração do modelo):
= área plantada com milho (em hectares)
= área plantada com trigo (em hectares)
= área plantada com soja (em hectares)
Passo 3
Função objetivo: somar o lucro de cada hectare vezes a área plantada. Como lucro por ha de milho é R$ 600, de trigo R$ 800 e de soja R$ 400, a função fica:
Passo 4
Restrições:
- Restrição de terra: a soma das áreas não pode passar de 400 ha.
- Restrição de investimento: milho custa R$ 2000/ha, trigo R$ 2400/ha e soja R$ 1400/ha. O total gasto não pode ultrapassar R$ 800 000:
Passo 5
Não negatividade: não faz sentido área negativa.
Resposta
Modelo de Programação Linear completo:
Maximizar
sujeito a