Um fazendeiro possui uma fazenda de criação de porcos para abate e deseja determinar o custo mínimo de uma dieta que garanta aos animais os seguintes requisitos mínimos de nutrientes: as proteínas devem ser fornecidas em uma quantidade de 200 u.m., as vitaminas, 250 u.m. e, os carboidratos, 120 u.m. Considere que os alimentos disponíveis no mercado são: milho, ração preparada e alfafa, ao custo por quilograma de \mathrm{R} \ 20,00 , R \ 30,00) e R $ 35,00), respectivamente. A tabela dada a seguir resume a quantidade de cada nutriente presente em 1 Kg de cada alimento.
Milho
Ra, \mathrm{c}^{\sim} \mathrm{a}
o
Alfafa
Prote'ína 10 10 40
Vitamina 20 20 30
Carboidrato 20 40 20
Determine:
Resolva os dois modelos usando método Simplex manual.

Passo 1

O fazendeiro quer minimizar o custo
\min\;20x_{1}+30x_{2}+35x_{3}
sujeito a garantir pelo menos
– Proteína: \;10x_{1}+10x_{2}+40x_{3}\ge200,
– Vitamina: \;20x_{1}+20x_{2}+30x_{3}\ge250,
– Carboidrato: \;20x_{1}+40x_{2}+20x_{3}\ge120,
com x_{i}\ge0.
Conteúdo: formulação de problema de programação linear (primal e dual) e solução pelo Simplex.

Passo 2

Formulamos o primal em forma padrão (inequações “ \ge\)”) e introduzimos variáveis de excesso (\(s_{i}\)) e artificiais (\(a_{i}\)): \[\begin{cases} 10x_{1}+10x_{2}+40x_{3}-s_{1}+a_{1}=200,\\\\ 20x_{1}+20x_{2}+30x_{3}-s_{2}+a_{2}=250,\\\\ 20x_{1}+40x_{2}+20x_{3}-s_{3}+a_{3}=120,\\\ x_{i},\,s_{i},\,a_{i}\ge0. \end{cases}
Fase 1\]: minimizar \(W=a_{1}+a_{2}+a_{3}. Montamos o tableau inicial e, por pivoteamentos, eliminamos todas as a_{i}, encontrando uma base viável sem variáveis artificiais.

Passo 3

Resolvendo a Fase 2 (já sem a_{i}) o tableau fica, após pivôs, com base \{x_{1},x_{3},s_{2}\} e solução
x_{1}=8,\quad x_{2}=0,\quad x_{3}=3,\quad \text{custo mínimo }Z=20\cdot8+30\cdot0+35\cdot3=265.í

Passo 4

Agora escrevemos o dual do problema primal de minimização. Sejam y_{1},y_{2},y_{3}\ge0 os multiplicadores das três restrições “ \ge”. O dual é
\max\;200y_{1}+250y_{2}+120y_{3}
sujeito a
\begin{cases} 10y_{1}+20y_{2}+20y_{3}\le20,\\\\ 10y_{1}+20y_{2}+40y_{3}\le30,\\\\ 40y_{1}+30y_{2}+20y_{3}\le35,\\\ y_{i}\ge0. \end{cases}

Passo 5

Montamos o tableau do dual para maximização. Pelo Simplex encontramos base ativa para as variáveis dual correspondentes às duas restrições do primal que ficaram iguais (“bind”) e y_{3}=0. A solução ótima do dual é
y_{1}=0.2,\quad y_{2}=0.9,\quad y_{3}=0,\quad \text{valor ótimo }=200\cdot0.2+250\cdot0.9=265,ó
confirmando pela dualidade que Z_{\min}=Z_{\max}=265.

Resposta

x_{1} = 8 kg de milho, x_{2} = 0 kg de ra\c{c}~{a}o, x_{3} = 3 kg de alfafa, custo m’\i{}nimo R$ 265,00.
y_{1} = 0,2; y_{2} = 0,9; y_{3} = 0 e valor dual = 265.

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