Um fazendeiro possui uma fazenda de criação de porcos para abate e deseja determinar o custo mínimo de uma dieta que garanta aos animais os seguintes requisitos mínimos de nutrientes: as proteínas devem ser fornecidas em uma quantidade de 200 u.m., as vitaminas, 250 u.m. e, os carboidratos, 120 u.m. Considere que os alimentos disponíveis no mercado são: milho, ração preparada e alfafa, ao custo por quilograma de \mathrm{R} \ 20,00, R \ 30,00) e R $ 35,00), respectivamente. A tabela dada a seguir resume a quantidade de cada nutriente presente em 1 Kg de cada alimento.
Milho
Ra, \mathrm{c}^{\sim} \mathrm{a}
o
Alfafa
Prote'ína
10
10
40
Vitamina
20
20
30
Carboidrato
20
40
20
Determine:
Resolva os dois modelos usando método Simplex manual.
Passo 1
O fazendeiro quer minimizar o custo
\min\;20x_{1}+30x_{2}+35x_{3}
sujeito a garantir pelo menos
– Proteína: \;10x_{1}+10x_{2}+40x_{3}\ge200,
– Vitamina: \;20x_{1}+20x_{2}+30x_{3}\ge250,
– Carboidrato: \;20x_{1}+40x_{2}+20x_{3}\ge120,
com x_{i}\ge0.
Conteúdo: formulação de problema de programação linear (primal e dual) e solução pelo Simplex.
Passo 2
Formulamos o primal em forma padrão (inequações “\ge\)”) e introduzimos variáveis de excesso (\(s_{i}\)) e artificiais (\(a_{i}\)):
\[\begin{cases} 10x_{1}+10x_{2}+40x_{3}-s_{1}+a_{1}=200,\\\\ 20x_{1}+20x_{2}+30x_{3}-s_{2}+a_{2}=250,\\\\ 20x_{1}+40x_{2}+20x_{3}-s_{3}+a_{3}=120,\\\ x_{i},\,s_{i},\,a_{i}\ge0. \end{cases}
Fase 1\]: minimizar \(W=a_{1}+a_{2}+a_{3}. Montamos o tableau inicial e, por pivoteamentos, eliminamos todas as a_{i}, encontrando uma base viável sem variáveis artificiais.
Passo 3
Resolvendo a Fase 2 (já sem a_{i}) o tableau fica, após pivôs, com base \{x_{1},x_{3},s_{2}\} e solução
Montamos o tableau do dual para maximização. Pelo Simplex encontramos base ativa para as variáveis dual correspondentes às duas restrições do primal que ficaram iguais (“bind”) e y_{3}=0. A solução ótima do dual é
confirmando pela dualidade que Z_{\min}=Z_{\max}=265.
Resposta
x_{1} = 8 kg de milho, x_{2} = 0 kg de ra\c{c}~{a}o, x_{3} = 3 kg de alfafa, custo m’\i{}nimo R$ 265,00. y_{1} = 0,2; y_{2} = 0,9; y_{3} = 0 e valor dual = 265.