Um fazendeiro tem hoje uma área de pasto cercada e em forma de semicírculo. Não satisfeito, ele busca formas alternativas, reaproveitando a cerca existente. Teve, então, a ideia de alterá-la para uma circunferência perfeita, mantendo o mesmo perímetro da forma atual.
Considere-se 3 como aproximação para π.
Nesta proposta, a variação percentual aproximada da nova área em relação à existente seria um
a) decréscimo de 31%.
b) decréscimo de 28%.
c) decréscimo de 39%.
d) acréscimo de 39%.
e) acréscimo de 44%.
Considere-se 3 como aproximação para π.
Nesta proposta, a variação percentual aproximada da nova área em relação à existente seria um
a) decréscimo de 31%.
b) decréscimo de 28%.
c) decréscimo de 39%.
d) acréscimo de 39%.
e) acréscimo de 44%.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um fazendeiro que tem um pasto em forma de semicírculo e quer transformar esse pasto em um círculo, mantendo a mesma quantidade de cerca. A matéria aqui envolve geometria, especificamente perímetro e área de círculos. Para resolver, vamos precisar das fórmulas do perímetro (ou circunferência) e da área de um círculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa manter a mesma cerca. A cerca existente é a borda do semicírculo, então o perímetro total do semicírculo inclui o arco da metade do círculo mais o diâmetro. A fórmula do perímetro do semicírculo é:
Onde $ r $ é o raio.
Passo 3
Agora, queremos transformar isso em um círculo completo com o mesmo perímetro. A fórmula do perímetro de um círculo é:
Como a cerca deve ser a mesma, igualamos os dois perímetros:
Passo 4
Vamos resolver para $ R $ em termos de $ r $. Primeiro, isole $ R $:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular as áreas. A área do semicírculo é metade da área do círculo completo:
A área do novo círculo será:
Substituindo $ R $ da etapa anterior:
Passo 6
Para encontrar a variação percentual da área, usamos a fórmula:
Substituindo as áreas:
Simplificando $ r^2 $ que está em todos os termos:
Passo 7
Vamos calcular numericamente usando $ \pi = 3 $:
Resposta
A variação percentual aproximada da nova área em relação à existente é um decréscimo de 39%, ou seja, a opção c).