Um fazendeiro tem hoje uma área de pasto cercada e em forma de semicírculo. Não satisfeito, ele busca formas alternativas, reaproveitando a cerca existente. Teve, então, a ideia de alterá-la para uma circunferência perfeita, mantendo o mesmo perímetro da forma atual.
Considere-se 3 como aproximação para π.
Nesta proposta, a variação percentual aproximada da nova área em relação à existente seria um
a) decréscimo de 31%.
b) decréscimo de 28%.
c) decréscimo de 39%.
d) acréscimo de 39%.
e) acréscimo de 44%.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um fazendeiro que tem um pasto em forma de semicírculo e quer transformar esse pasto em um círculo, mantendo a mesma quantidade de cerca. A matéria aqui envolve geometria, especificamente perímetro e área de círculos. Para resolver, vamos precisar das fórmulas do perímetro (ou circunferência) e da área de um círculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa manter a mesma cerca. A cerca existente é a borda do semicírculo, então o perímetro total do semicírculo inclui o arco da metade do círculo mais o diâmetro. A fórmula do perímetro do semicírculo é:
Psemicírculo = pi r + 2r í
Onde $ r $ é o raio.

Passo 3

Agora, queremos transformar isso em um círculo completo com o mesmo perímetro. A fórmula do perímetro de um círculo é:
Pcírculo = 2pi R í
Como a cerca deve ser a mesma, igualamos os dois perímetros:
pi r + 2r = 2pi R

Passo 4

Vamos resolver para $ R $ em termos de $ r $. Primeiro, isole $ R $:
R
Simplificando:
r

Passo 5

Agora, vamos calcular as áreas. A área do semicírculo é metade da área do círculo completo:
Asemicírculo = 12 pi r^2 í
A área do novo círculo será:
Acírculo = pi R^2 í
Substituindo $ R $ da etapa anterior:
R í

Passo 6

Para encontrar a variação percentual da área, usamos a fórmula:
Variação (%) = ( Acírculo - AsemicírculoAsemicírculo ) times 100 çãííí
Substituindo as áreas:
Variação (%) = ( (pi + 2)^2 r^24pi - 12 pi r^212 pi r^2 ) times 100 çã
Simplificando $ r^2 $ que está em todos os termos:
r^2 çã

Passo 7

Vamos calcular numericamente usando $ \pi = 3 $:
pi = 3
(pi + 2)^2 = (3 + 2)^2 = 25
4pi = 4 times 3 = 12
2512 - 32 = 2512 - 1812 = 712 çã

Resposta

A variação percentual aproximada da nova área em relação à existente é um decréscimo de 39%, ou seja, a opção c).

Exercícios relacionados