Fazendo a interseção do Hiperboloide de 1 folha \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{8}+\frac{z^{2}}{2}=1 com o plano z=\sqrt{2}, obtemos:

Escolha uma opção:

a. Uma hipérbole de equação \frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{4}=1
b. Uma hipérbole de equação \frac{y^{2}}{24}-\frac{z^{2}}{6}=1
c. Retas concorrentes de equação: \boldsymbol{X}=(0,0, \sqrt{2})+t(1, \pm \sqrt{2}, 0)
d. Uma elipse de equação \frac{x^{2}}{8}+\frac{z^{2}}{4}=1
e. Uma elipse de equação \frac{x^{2}}{12}+\frac{z^{2}}{6}=1
f. Retas concorrentes de equação: \boldsymbol{X}=(2,0,0)+t(0, \pm 2,1)

Passo 1

O enunciado pede a interseção do hiperboloide de uma folha
\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{8}+\frac{z^{2}}{2}=1
com o plano z=\sqrt{2}. O conteúdo é reconhecimento de seção cônica degenerada em superfícies quádricas. Vamos substituir z pela constante e ver que tipo de curva aparece.

Passo 2

Substituindo z=\sqrt{2} na equação do hiperboloide, temos
\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{8}+\frac{(\sqrt{2})^{2}}{2}=1.

Passo 3

Como (\sqrt{2})^{2}=2, a última equação vira
\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{8}+1=1
ou seja
\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{8}=0.

Passo 4

Reescrevendo
\frac{x^{2}}{4}=\frac{y^{2}}{8}
obtemos
y^{2}=2\,x^{2},
isto é
y=\pm\sqrt{2}\,x.
São duas retas passando pela origem no plano z=\sqrt2.

Passo 5

Para parametrizar em \mathbb{R}^3, tomamos ponto base (0,0,\sqrt2) e direções (1,\pm\sqrt2,0). Assim as retas são
\boldsymbol{X}(t)=(0,0,\sqrt{2})+t\,(1,\pm\sqrt{2},0).

Resposta

(c) Retas concorrentes de equação: \boldsymbol{X}=(0,0,\sqrt{2})+t(1,\pm\sqrt{2},0).

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