Dê a equação reduzida da esfera circunscrita no elipsoide \frac{x^{2}}{169}+\frac{y^{2}}{196}+\frac{z^{2}}{225}=1
Escolha uma opção:
O a. x^{2}+y^{2}+z^{2}=144
b. x^{2}+y^{2}+z^{2}=225
c. x^{2}+y^{2}+z^{2}=196
d. x^{2}+y^{2}+z^{2}=121
e. x^{2}+y^{2}+z^{2}=169

Passo 1

O enunciado dá o elipsoide
\frac{x^{2}}{169}+\frac{y^{2}}{196}+\frac{z^{2}}{225}=1
e pede a equação reduzida da esfera que o circunscreve.
Conteúdo: geometria analítica em \mathbb{R}^3. Precisamos identificar os semi-eixos do elipsoide e achar o raio da menor esfera centrada na mesma origem que contenha todo o elipsoide.

Passo 2

O elipsoide está na forma
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1,
com
a^{2}=169,\quad b^{2}=196,\quad c^{2}=225.
Logo
a=13,\quad b=14,\quad c=15.

Passo 3

A esfera centrada na origem que contenha todo o elipsoide deve ter raio igual ao maior dos semi-eixos, ou seja,
R=\max\{a,b,c\}=15.

Passo 4

A equação reduzida dessa esfera de raio R e centro na origem é
x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}=15^{2}=225.

Resposta

x^{2}+y^{2}+z^{2}=225

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