Fazer a derivada de cada uma das funções a seguir, numeradas de 01 a 09.
04.
Resolução:
Essa função pode ser escrita assim:
04.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Dada a função
. - Pede-se a derivada dessa função em relação a
, ou seja .
Passo 2
Reescrevendo a função em termos de potências, para ficar explícito o que vamos aplicar:
(Se quiser, pode ver o termo constante como
, mas não é necessário.)
Passo 3
Relembrando as regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Regra da soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
- Regra da constante por função: uma constante pode sair da derivada.
- Regra do poder (power rule): para
real,
Aqui
é o expoente e
é a variável; por exemplo
.
- Regra da constante (caso especial): a derivada de uma constante é zero,
Passo 4
Derivando termo a termo pela regra da soma.
Primeiro termo:
.
Aplicando a regra da constante por função e a regra do poder:
Aplicando a regra da constante por função e a regra do poder:
Explicação: a derivada de
é
, e multiplicando por
fica
.
Passo 5
Segundo termo:
.
Escrevendo como e aplicando a regra do poder (ou sabendo que
):
Escrevendo como
Explicação:
, portanto o coeficiente
permanece.
Passo 6
Terceiro termo:
(constante).
Pela regra da constante:
Pela regra da constante:
Observação rápida: se escrever
, então a regra do poder daria
, o que também resulta em zero.
Passo 7
Somando as derivadas dos termos (regra da soma):
Simplificando: