Fazer a derivada de cada uma das funções a seguir, numeradas de 01 a 09.
04. y=\frac{1}{2} x^{2}-2 x+10

Resolução:

Essa função pode ser escrita assim:
\begin{aligned} & y=\frac{1}{2} x^{2}-2 x+10 x^{0} \\ & \frac{d y}{d x}=2 \cdot \frac{1}{2} x^{2-1}-1 \cdot 2 x^{1-1}+0 \cdot 10 x^{0-1} \\ & \frac{d y}{d x}=x-2 \end{aligned}

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dada a função y=\dfrac{1}{2}x^{2}-2x+10.
  • Pede-se a derivada dessa função em relação a x, ou seja \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Reescrevendo a função em termos de potências, para ficar explícito o que vamos aplicar:
y=\frac{1}{2}x^{2}-2x+10.
(Se quiser, pode ver o termo constante como 10=10x^{0}, mas não é necessário.)

Passo 3

Relembrando as regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra da soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
\frac{d}{dx}\big(f(x)+g(x)\big)=\frac{d}{dx}f(x)+\frac{d}{dx}g(x).
  • Regra da constante por função: uma constante pode sair da derivada.
\frac{d}{dx}\big(a\cdot f(x)\big)=a\cdot \frac{d}{dx}f(x),\quad a\\ \text{constante}.
  • Regra do poder (power rule): para n real,
\frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}.
Aqui n é o expoente e x é a variável; por exemplo \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x^{1}=2x.
  • Regra da constante (caso especial): a derivada de uma constante é zero,
\frac{d}{dx}C=0.

Passo 4

Derivando termo a termo pela regra da soma.
Primeiro termo: \dfrac{1}{2}x^{2}.
Aplicando a regra da constante por função e a regra do poder:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{2}x^{2}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{d}{dx}x^{2} =\frac{1}{2}\cdot(2x^{1})=x.
Explicação: a derivada de x^{2} é 2x, e multiplicando por \tfrac{1}{2} fica x.

Passo 5

Segundo termo: -2x.
Escrevendo como -2x^{1} e aplicando a regra do poder (ou sabendo que \dfrac{d}{dx}x=1):
\frac{d}{dx}(-2x)=-2\cdot\frac{d}{dx}x=-2\cdot 1=-2.
Explicação: \dfrac{d}{dx}x^{1}=1\cdot x^{0}=1, portanto o coeficiente -2 permanece.

Passo 6

Terceiro termo: 10 (constante).
Pela regra da constante:
\frac{d}{dx}10=0.
Observação rápida: se escrever 10=10x^{0}, então a regra do poder daria 0\cdot x^{-1}=0, o que também resulta em zero.

Passo 7

Somando as derivadas dos termos (regra da soma):
\frac{dy}{dx}= \big(\text{derivada do primeiro}\big) + \big(\text{derivada do segundo}\big) + \big(\text{derivada do terceiro}\big) = x + (-2) + 0.
Simplificando:
\frac{dy}{dx}=x-2.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=x-2

Exercícios relacionados