Fazer a derivada de cada uma das funções a seguir, numeradas de 01 a 09.
03. y=-2 x^{2}-3 x+12

Resolução:

Essa função pode ser escrita assim:
\begin{aligned} & y=-2 x^{2}-3 x+12 x^{0} \\ & \frac{d y}{d x}=-2.2 x^{2-1}-3 x^{1-1}+0 . x^{0-1} \\ & \frac{d y}{d x}=-4 x-3 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. A função fornecida é:
y = -2x^{2} - 3x + 12.
O que se quer encontrar é a derivada de y em relação a x, ou seja, \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Relembrando as regras básicas que vou usar (cada fórmula explicada de forma simples):
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1},
onde n é qualquer número real. Isso significa: para derivar uma potência de x, multiplica-se pelo expoente e diminui-se o expoente em uma unidade. Exemplo rápido: \dfrac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}.
Mais duas regras úteis:
\frac{d}{dx}\text{(c)}=0\qquad\text{(derivada de constante é zero)}é
\frac{d}{dx}\bigl(a\cdot f(x)\bigr)=a\cdot f'(x)\qquad\text{(constante fatorada)}
ou seja, uma constante multiplicando uma função sai como fator na derivada. Exemplo: \dfrac{d}{dx}(5x^{2})=5\cdot 2x = 10x.

Passo 3

Vou aplicar essas regras termo a termo na função \;y = -2x^{2} - 3x + 12\; (derivação soma termo a termo).
Primeiro termo: aplicar a regra da potência com constante multiplicativa.
\frac{d}{dx}\bigl(-2x^{2}\bigr) = -2\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr) = -2\cdot(2x) = -4x.

Passo 4

Segundo termo: -3x é uma função linear. A derivada de x é 1, e a constante sai como fator:
\frac{d}{dx}\bigl(-3x\bigr) = -3\cdot\frac{d}{dx}(x) = -3\cdot 1 = -3.

Passo 5

Terceiro termo: 12 é constante, então
\frac{d}{dx}(12)=0.

Passo 6

Somando as derivadas de cada termo (regra da soma):
\frac{dy}{dx} = -4x + (-3) + 0 = -4x - 3.

Passo 7

Dica rápida para prova: identifique cada termo (potência, linear, constante) e aplique a regra apropriada; não é necessário escrever \,0\cdot x^{-1}\, ao derivar constantes — basta usar que a derivada de constante é 0.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=-4x-3

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