Fazer a derivada de cada uma das funções a seguir, numeradas de 01 a 09.
05. y=-4 x^{2}+2 x-10

Resolução:

Essa função pode ser escrita assim:
y=-4 x^{2}+2 x-10 x^{0}
\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=-2.4 \mathrm{x}^{2-1}+1.2 \mathrm{x}^{1-1}-0.10 \mathrm{x}^{0-1}
\frac{d y}{d x}=-8 x+2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função indicada (questão 05). A função dada é
y = -4x^{2} + 2x - 10.
O que se pede: encontrar \dfrac{dy}{dx}, ou seja, a taxa de variação de y em relação a x.

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (sempre que aparecerem aqui, vou explicar o que cada símbolo significa):
  • Regra da potência: para qualquer inteiro (ou real) n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1},
onde x é a variável e n é o expoente.
  • Regra da constante multiplicativa: se a é constante e f(x) é derivável, então
\frac{d}{dx}\bigl(a\cdot f(x)\bigr)=a\cdot f'(x).
  • Derivada de constante: se c é constante (não depende de x), então
\frac{d}{dx}\text{(c)}=0.

Passo 3

Aplicando a regra da potência em um exemplo rápido para fixar: se f(x)=x^{2} então, pela regra da potência,
f'(x)=2x^{1}=2x.
Isso mostra que o expoente desce multiplicando e o novo expoente é o original menos 1.

Passo 4

Agora derivamos termo a termo a função dada. Primeiro termo: -4x^{2}.
  • Trata-se de uma constante -4 multiplicando x^{2}. Usando a regra da constante multiplicativa e a regra da potência,
\frac{d}{dx}\bigl(-4x^{2}\bigr)=-4\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=-4\cdot(2x)= -8x.

Passo 5

Segundo termo: 2x.
  • Podemos ver 2x como 2\cdot x^{1}. Aplicando a regra da potência ou sabendo que a derivada de x é 1,
\frac{d}{dx}\bigl(2x\bigr)=2\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)=2\cdot 1 = 2.

Passo 6

Terceiro termo: -10.
  • Como -10 é constante (não depende de x), sua derivada é zero:
\frac{d}{dx}(-10)=0.

Passo 7

Somando as derivadas termo a termo (soma de derivadas é derivada da soma),
\frac{dy}{dx} = -8x + 2 + 0 = -8x + 2.
Esta é a forma simplificada da derivada. Dica prática: sempre derivate cada termo separado e depois some os resultados.

Resposta

-8x+2

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