Fazer a derivada de cada uma das funções a seguir, numeradas de 01 a 09.
08. y=4 \sqrt{x^{3}}

Resolução:

Essa função pode ser escrita assim:
y=4 x^{3 / 2}
\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{3}{2} \cdot 4 \mathrm{x}^{\frac{3}{2}-1}
\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=6 \mathrm{x}^{\frac{3}{2}-\frac{2}{2}}
\frac{d y}{d x}=6 x^{\frac{1}{2}}=6 \sqrt{x}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função dada. A função que vamos derivar é
y=4\sqrt{x^{3}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão da função é y=4\sqrt{x^{3}}.
  • Para números reais, a raiz quadrada exige x\ge 0. Portanto trabalhamos com x\ge 0.
  • O que se pede é a derivada \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Primeiro passo prático: reescrever a raiz em potência. Lembrando a regra de potências (a^{b})^{c}=a^{bc}, temos
\sqrt{x^{3}}=(x^{3})^{1/2}=x^{3/2}.
Assim a função fica mais simples de manipular:
y=4x^{3/2}.

Passo 3

Vou apresentar a regra que vamos usar (e explicar o que cada símbolo significa):
Regra da potência (power rule): para uma função x^{n}, com n constante real e x variável, vale
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
Aqui n é o expoente que fica como fator e reduz-se o expoente em uma unidade. Exemplo simples: \dfrac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}.
Também usaremos a regra do fator constante: se c é constante,
\frac{d}{dx}\bigl(c\cdot f(x)\bigr)=c\cdot f'(x).

Passo 4

Aplicando as regras à função y=4x^{3/2}:
  • Primeiro derivamos x^{3/2} usando a regra da potência: o expoente n=\tfrac{3}{2} vira fator e subtrai-se 1:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3/2}\bigr)=\frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1}.
  • Calcular a diferença de expoentes:
\frac{3}{2}-1=\frac{3}{2}-\frac{2}{2}=\frac{1}{2}.
  • Aplicando a constante 4:
\frac{dy}{dx}=4\cdot\frac{3}{2}x^{1/2}.

Passo 5

Simplificando o coeficiente 4\cdot\tfrac{3}{2}:
4\cdot\frac{3}{2}=2\cdot 3=6.
Portanto
\frac{dy}{dx}=6x^{1/2}.
Voltando à notação de raiz,
\frac{dy}{dx}=6\sqrt{x}.
Observação sobre domínio: como começamos com \sqrt{x^{3}}, trabalhamos em x\ge 0. A expressão final 6\sqrt{x} está bem definida para x\ge 0 e, em particular, \dfrac{dy}{dx}\big|_{x=0}=0.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=6\sqrt{x}

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