Fazer a derivada de cada uma das funções a seguir, numeradas de 01 a 09.
08.
Resolução:
Essa função pode ser escrita assim:
08.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função dada. A função que vamos derivar é
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão da função é
. - Para números reais, a raiz quadrada exige
. Portanto trabalhamos com . - O que se pede é a derivada
.
Passo 2
Primeiro passo prático: reescrever a raiz em potência. Lembrando a regra de potências
, temos
Assim a função fica mais simples de manipular:
Passo 3
Vou apresentar a regra que vamos usar (e explicar o que cada símbolo significa):
Regra da potência (power rule): para uma função
, com
constante real e
variável, vale
Aqui
é o expoente que fica como fator e reduz-se o expoente em uma unidade. Exemplo simples:
.
Também usaremos a regra do fator constante: se
é constante,
Passo 4
Aplicando as regras à função
:
- Primeiro derivamos
usando a regra da potência: o expoente vira fator e subtrai-se :
- Calcular a diferença de expoentes:
- Aplicando a constante
:
Passo 5
Simplificando o coeficiente
:
Portanto
Voltando à notação de raiz,
Observação sobre domínio: como começamos com
, trabalhamos em
. A expressão final
está bem definida para
e, em particular,
.