Fazer a derivada de cada uma das funções a seguir, numeradas de 01 a 09.
07. y=3 x^{2 / 3}-5 x^{2}+8 x+5

Resolução:

Essa função pode ser escrita assim:
\mathrm{y}=3 \mathrm{x}^{2 / 3}-5 \mathrm{x}^{2}+8 \mathrm{x}+5 \mathrm{x}^{0}
\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{2}{3} .3 \mathrm{x}^{\frac{2}{3}-1}-2.5 \mathrm{x}^{2-1}+1.8 \mathrm{x}^{1-1}+0.5 \mathrm{x}^{0-1}
\frac{d y}{d x}=2 x^{\frac{2}{3}-\frac{3}{3}}-10 x+8 x^{0}+0
\frac{d y}{d x}=2 x^{-1 / 3}-10 x+8
\frac{d y}{d x}=\frac{2}{\sqrt[3]{x}}-10 x+8

Passo 1

O enunciado dá a função e pede a sua derivada (taxa de variação):
y = 3x^{2/3} - 5x^{2} + 8x + 5.
Precisamos calcular \dfrac{dy}{dx} (a derivada de y em relação a x). As informações relevantes: os coeficientes são 3, -5, 8 e 5; há uma potência fracionária x^{2/3} e uma constante 5.

Passo 2

Regra básica que vamos usar (explicando bem devagar):
  • Regra da potência: para qualquer número real n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{\,n-1}.
Aqui x é a variável e n é o expoente; a fórmula diz que a derivada de x^n é multiplicar por n e reduzir o expoente em 1.
  • Regra da constante multiplicativa: se a é constante,
\frac{d}{dx}\bigl(a\cdot f(x)\bigr)=a\cdot f'(x).
  • Derivada de uma soma é a soma das derivadas.
  • Derivada de constante é zero:
\frac{d}{dx}\text{(c)}=0.
Exemplos rápidos para fixar: \dfrac{d}{dx}(x^3)=3x^2; \dfrac{d}{dx}(5x)=5; \dfrac{d}{dx}(7)=0.

Passo 3

Aplicando a regra da potência ao termo \;3x^{2/3}\;.
Usamos a constante 3 multiplicando a derivada de x^{2/3}:
\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2/3}\bigr)=3\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2/3}\bigr) =3\cdot\left(\frac{2}{3}x^{2/3-1}\right).
Agora calculamos o expoente: 2/3-1=2/3-3/3=-1/3. Multiplicando os coeficientes 3\cdot\frac{2}{3}=2. Portanto a derivada desse termo é
2x^{-1/3}.
Explicando a aritmética: 3 cancela com /\!3 e sobra 2.

Passo 4

Derivada do termo -5x^{2}.
Usando constante multiplicativa e a regra da potência:
\frac{d}{dx}\bigl(-5x^{2}\bigr)=-5\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=-5\cdot(2x)= -10x.

Passo 5

Derivada do termo 8x e do termo constante 5.
  • Para 8x, a regra da potência com n=1 \dfrac{d}{dx}(x)=1, logo
\frac{d}{dx}(8x)=8\cdot 1 = 8.
  • Para a constante 5,
\frac{d}{dx}(5)=0.

Passo 6

Somando as derivadas dos termos (soma das peças que já calculamos):
  • de 3x^{2/3} veio 2x^{-1/3},
  • de -5x^{2} veio -10x,
  • de 8x veio 8,
  • de 5 veio 0.
A expressão simplificada da derivada é
2x^{-1/3}-10x+8.
Uma forma equivalente, escrevendo o termo com expoente negativo como raiz cúbica, é
\frac{2}{\sqrt[3]{x}}-10x+8.
Observação importante sobre domínio: como aparece x^{-1/3}, essa expressão não é finita em x=0. Portanto a derivada acima vale para x\neq 0. (A função original está definida em x=0, com y(0)=5, mas a derivada não existe finita em x=0.)

Resposta

\frac{dy}{dx}=2x^{-1/3}-10x+8\quad (x\neq 0)
\text{equivalente: }\frac{dy}{dx}=\frac{2}{\sqrt[3]{x}}-10x+8\quad (x\neq 0)

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