Fazer a derivada de cada uma das funções a seguir, numeradas de 01 a 09.
07.
Resolução:
Essa função pode ser escrita assim:
07.
Passo 1
O enunciado dá a função e pede a sua derivada (taxa de variação):
Precisamos calcular
(a derivada de
em relação a
). As informações relevantes: os coeficientes são
,
,
e
; há uma potência fracionária
e uma constante
.
Passo 2
Regra básica que vamos usar (explicando bem devagar):
- Regra da potência: para qualquer número real
,
Aqui
é a variável e
é o expoente; a fórmula diz que a derivada de
é multiplicar por
e reduzir o expoente em
.
- Regra da constante multiplicativa: se
é constante,
- Derivada de uma soma é a soma das derivadas.
- Derivada de constante é zero:
Exemplos rápidos para fixar:
;
;
.
Passo 3
Aplicando a regra da potência ao termo
.
Usamos a constante multiplicando a derivada de
:
Usamos a constante
Agora calculamos o expoente:
. Multiplicando os coeficientes
. Portanto a derivada desse termo é
Explicando a aritmética:
cancela com
e sobra
.
Passo 4
Derivada do termo
.
Usando constante multiplicativa e a regra da potência:
Usando constante multiplicativa e a regra da potência:
Passo 5
Derivada do termo
e do termo constante
.
- Para
, a regra da potência com dá , logo
- Para a constante
,
Passo 6
Somando as derivadas dos termos (soma das peças que já calculamos):
- de
veio , - de
veio , - de
veio , - de
veio .
A expressão simplificada da derivada é
Uma forma equivalente, escrevendo o termo com expoente negativo como raiz cúbica, é
Observação importante sobre domínio: como aparece
, essa expressão não é finita em
. Portanto a derivada acima vale para
. (A função original está definida em
, com
, mas a derivada não existe finita em
.)