Sem fazer o gráfico, determine se as funções abaixo são crescente ou decrescente:
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar se a função
é crescente ou decrescente, sem fazer o gráfico.
Informações fornecidas: a função é dada por . Pressupõe‑se domínio todo dos reais (ou seja,
).
Informações fornecidas: a função é dada por
Passo 2
Definição (explicada de forma simples): uma função
é
- crescente em um conjunto quando, para quaisquer
e desse conjunto com , vale ; - decrescente quando, para quaisquer
, vale .
Aquie representam dois pontos quaisquer do domínio; a comparação significa que vem depois de na reta real.
Passo 3
Propriedade útil para funções lineares (aquela do tipo
): calcule a diferença entre os valores em dois pontos quaisquer
:
Isso é um cálculo simples: subtrai termo a termo e o
cancela.
Passo 4
Interpretação dessa diferença:
- se
, então para (isto é, ) temos , logo e então : a função é crescente; - se
, então sempre que , então : a função é decrescente; - se
, a diferença é zero para quaisquer , então a função é constante.
Passo 5
Aplicando ao caso
: aqui o coeficiente angular é
. Como
, pelo raciocínio do passo anterior a diferença
é positiva sempre que
. Logo
para qualquer
.
Passo 6
Conclusão didática e alternativa rápida: a função é crescente em todo o domínio. (Observação rápida: usando cálculo,
também confirma que
é estritamente crescente.)
Resposta
A função é crescente em
.