Sem fazer o gráfico, determine se as funções abaixo são crescente ou decrescente:
f(x)=4 x-7

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar se a função f(x)=4x-7 é crescente ou decrescente, sem fazer o gráfico.
Informações fornecidas: a função é dada por f(x)=4x-7. Pressupõe‑se domínio todo dos reais (ou seja, x\in\mathbb{R}).

Passo 2

Definição (explicada de forma simples): uma função f é
  • crescente em um conjunto quando, para quaisquer x_1 e x_2 desse conjunto com x_1<x_2, vale f(x_1)<f(x_2);
  • decrescente quando, para quaisquer x_1<x_2, vale f(x_1)>f(x_2).
    Aqui x_1 e x_2 representam dois pontos quaisquer do domínio; a comparação x_1<x_2 significa que x_2 vem depois de x_1 na reta real.

Passo 3

Propriedade útil para funções lineares (aquela do tipo f(x)=ax+b): calcule a diferença entre os valores em dois pontos quaisquer x_1<x_2:
f(x_2)-f(x_1)=\bigl(a x_2+b\bigr)-\bigl(a x_1+b\bigr)=a(x_2-x_1).
Isso é um cálculo simples: subtrai termo a termo e o b cancela.

Passo 4

Interpretação dessa diferença:
  • se a>0, então para x_2-x_1>0 (isto é, x_2>x_1) temos a(x_2-x_1)>0, logo f(x_2)-f(x_1)>0 e então f(x_2)>f(x_1): a função é crescente;
  • se a<0, então a(x_2-x_1)<0 sempre que x_2>x_1, então f(x_2)<f(x_1): a função é decrescente;
  • se a=0, a diferença é zero para quaisquer x_1,x_2, então a função é constante.

Passo 5

Aplicando ao caso f(x)=4x-7: aqui o coeficiente angular é a=4. Como 4>0, pelo raciocínio do passo anterior a diferença
f(x_2)-f(x_1)=4(x_2-x_1)
é positiva sempre que x_2>x_1. Logo f(x_2)>f(x_1) para qualquer x_1<x_2.

Passo 6

Conclusão didática e alternativa rápida: a função é crescente em todo o domínio. (Observação rápida: usando cálculo, f'(x)=4>0 também confirma que f é estritamente crescente.)

Resposta

A função é crescente em \mathbb{R}.

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