Sem fazer o gráfico, determine se as funções abaixo são crescente ou decrescente:
Passo 1
O enunciado pede: determinar se a função
é crescente ou decrescente (sem fazer o gráfico).
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - Não foi especificado domínio, logo considerar o domínio natural de uma função afim:
. - Coeficiente linear (termo independente) é
e coeficiente de é .
Passo 2
Definição de crescente (estritamente crescente) que vamos usar: uma função
é estritamente crescente em um conjunto
se, para quaisquer
com
, vale
Vou aplicar essa definição diretamente à função dada, mostrando passo a passo a diferença
.
Passo 3
Sejam
com
. Calculo a diferença entre os valores da função:
Agora simplifico termo a termo:
Passo 4
Observe a expressão obtida:
Como assumimos
, então
. Dividindo um número positivo por
mantém a positividade. Logo
Pelo critério da definição, isso prova que
é estritamente crescente em
.
Passo 5
Comentário intuitivo e útil para a prova (sem desenhar): funções do tipo
(funções afins) têm monotonicidade dita pelo sinal de
. Se
a função é crescente; se
é decrescente; se
é constante. Aqui
, portanto a conclusão acima bate com este teste rápido. O termo
apenas desloca a reta para baixo, não altera a monotonicidade.
Resposta
A função
é estritamente crescente em
.