Sem fazer o gráfico, determine se as funções abaixo são crescente ou decrescente:
f(x)=\frac{x}{2}-5

Passo 1

O enunciado pede: determinar se a função f(x)=\frac{x}{2}-5 é crescente ou decrescente (sem fazer o gráfico).
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{x}{2}-5.
  • Não foi especificado domínio, logo considerar o domínio natural de uma função afim: \mathbb{R}.
  • Coeficiente linear (termo independente) é -5 e coeficiente de x é \dfrac{1}{2}.

Passo 2

Definição de crescente (estritamente crescente) que vamos usar: uma função f é estritamente crescente em um conjunto D se, para quaisquer x_1,x_2\in D com x_1<x_2, vale
f(x_1)<f(x_2).
Vou aplicar essa definição diretamente à função dada, mostrando passo a passo a diferença f(x_2)-f(x_1).

Passo 3

Sejam x_1,x_2\in\mathbb{R} com x_1<x_2. Calculo a diferença entre os valores da função:
f(x_2)-f(x_1)=\left(\dfrac{x_2}{2}-5\right)-\left(\dfrac{x_1}{2}-5\right).
Agora simplifico termo a termo:
f(x_2)-f(x_1)=\dfrac{x_2}{2}-5-\dfrac{x_1}{2}+5=\dfrac{x_2-x_1}{2}.

Passo 4

Observe a expressão obtida:
f(x_2)-f(x_1)=\dfrac{x_2-x_1}{2}.
Como assumimos x_2>x_1, então x_2-x_1>0. Dividindo um número positivo por 2>0 mantém a positividade. Logo
f(x_2)-f(x_1)>0\quad\Rightarrow\quad f(x_2)>f(x_1).
Pelo critério da definição, isso prova que f é estritamente crescente em \mathbb{R}.

Passo 5

Comentário intuitivo e útil para a prova (sem desenhar): funções do tipo \,f(x)=ax+b\, (funções afins) têm monotonicidade dita pelo sinal de a. Se a>0 a função é crescente; se a<0 é decrescente; se a=0 é constante. Aqui a=\dfrac{1}{2}>0, portanto a conclusão acima bate com este teste rápido. O termo -5 apenas desloca a reta para baixo, não altera a monotonicidade.

Resposta

A função f(x)=\dfrac{x}{2}-5 é estritamente crescente em \mathbb{R}.

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