Fazer um gráfico de
em função do recíproco da temperatura absoluta, representando a barra de erro de cada ponto.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações são necessárias\n
- O enunciado pede: fazer um gráfico de
em função do recíproco da temperatura absoluta e representar a barra de erro de cada ponto.\n - Isso implica que, para cada medida, precisa-se dos seguintes valores (ou que eles existam nos seus dados):
-
: temperatura absoluta (em kelvin) de cada ponto. -
: incerteza (erro) em cada . -
: pressão medida de cada ponto (mesma unidade para todos, ex.: Pa). -
: incerteza em cada . -
: pressão de referência (constante para todos os pontos) ou, se for variável, seus valores . -
: incerteza em (se aplicável). Se for uma constante sem incerteza conhecida, a barra de erro vertical dependerá só de .
-
- O gráfico a produzir tem:
- eixo horizontal:
(unidade: K ), - eixo vertical:
.
- eixo horizontal:
- O enunciado exige barras de erro para cada ponto — portanto precisamos calcular as incertezas em
(horizontais) e em (verticais).
Passo 2
Regras matemáticas e física/estatística necessárias (explicação didática)\n
- Por que usar
versus ?\n - Em muitos contextos (ex.: linearizar a equação de Clausius–Clapeyron) a relação entre pressão de vapor e temperatura fica praticamente linear quando se plota
contra . Aqui a mesma ideia: transformamos a razão em uma soma de logaritmos para facilitar análise linear.
- Em muitos contextos (ex.: linearizar a equação de Clausius–Clapeyron) a relação entre pressão de vapor e temperatura fica praticamente linear quando se plota
- Como transformar as grandezas: definição direta\n
- Importante: sempre usar temperatura em kelvin. Converter se necessário (ex.:
para K: ).
- Importante: sempre usar temperatura em kelvin. Converter se necessário (ex.:
- Como propagar erros (princípio): usar aproximação de primeira ordem (propagação linear de incertezas)\n
- Se
e os erros nas variáveis são pequenos e independentes, a variância de é aproximada por
- No nosso caso, para
(assumindo e independentes):
portanto - Se
for uma constante conhecida sem incerteza, então . - Para
, a derivada é . Assim
- Observação prática:
costuma ser pequeno se é pequeno comparado a , mas deve ser desenhado quando for relevante.
- Se
- Verificações importantes antes de plotar:
- Nenhum
pode ser negativo ou zero (log indefinido). Se houver valores próximos de zero, tratar ou remover. - Unidades consistentes: todas as pressões na mesma unidade; temperaturas em K.
- Se houver correlação entre
e , a fórmula de propagação muda — aqui assumimos independência.
- Nenhum
Passo 3
Procedimento passo a passo (o que calcular, em ordem) — modo “fazer na prova/ laboratório”\n
- Converter temperaturas para kelvin se necessário: calcular
em K.\n - Calcular
para cada ponto.\n - Calcular
para cada ponto.\n - Calcular as incertezas:
-
. -
, ou se .\n
-
- Conferir números: ver se
e têm magnitudes razoáveis (não exageradamente grandes). Se um erro for dominante, pode ser necessário reavaliar a medição.\n - Fazer o gráfico: eixo horizontal
, eixo vertical , adicionar barras de erro horizontais e verticais . Identificar pontos com marcadores visíveis e barras de erro claras.\n - (Opcional) Ajuste linear: se o objetivo é ajustar uma reta (como em Clausius–Clapeyron), fazer ajuste linear ponderado por
— isto minimiza o erro quadrático ponderado vertical. Se as incertezas em não são desprezíveis, usar regressão ortogonal ou ODR (Orthogonal Distance Regression).
Passo 4
Exemplo numérico ilustrativo — cálculo manual passo a passo (substitua pelos seus dados)\n
Suponha quatro medidas com estas entradas (apenas exemplo):
Suponha quatro medidas com estas entradas (apenas exemplo):
-
. -
. -
. -
. -
com .\n
Calculare :\n
Calcular
e
:\n
Esses são os pontos e as barras de erro que você desenharia.
Passo 5
Como fazer o gráfico na prática — código em Python (matplotlib + numpy) e dicas\n
- Rápido script que pode ser usado substituindo as listas pelos seus dados:\n
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Substitua pelos seus dados:
T = np.array([290., 300., 310., 320.]) # K
sigma_T = np.array([0.5, 0.5, 0.5, 0.5]) # K
p = np.array([90000., 100000., 110000., 120000.]) # Pa
sigma_p = np.array([2000., 2000., 2000., 2000.]) # Pa
p_star = 100000. # Pa
sigma_p_star = 500. # Pa
# Cálculos:
x = 1.0 / T
sigma_x = sigma_T / T**2
y = np.log(p / p_star)
sigma_y = np.sqrt((sigma_p / p)**2 + (sigma_p_star / p_star)**2)
# Plot com barras de erro horizontais e verticais:
plt.figure(figsize=(7,5))
plt.errorbar(x, y, xerr=sigma_x, yerr=sigma_y, fmt='o', capsize=4, markersize=6,
label=r'Dados com barras de erro')
plt.xlabel(r'\(\dfrac{1}{T}\) (K\(^{-1}\))')
plt.ylabel(r'\(\ln\!\left(\dfrac{p}{p^{*}}\right)\)')
plt.grid(alpha=0.3)
# Opcional: ajuste linear ponderado por 1/sigma_y (ignora erros em x)
w = 1.0 / sigma_y
coef = np.polyfit(x, y, 1, w=w) # retorna [slope, intercept]
slope, intercept = coef
xfit = np.linspace(x.min()*0.995, x.max()*1.005, 100)
yfit = slope*xfit + intercept
plt.plot(xfit, yfit, '-', color='C1', label=f'Ajuste: y={slope:.3e} x + {intercept:.3e}')
plt.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()
- Observações sobre o código:
plt.errorbardesenha simultaneamente as barras de erro horizontais (xerr) e verticais (yerr).w = 1/sigma_yinstruinp.polyfita fazer ajuste ponderado (minimização vertical). Se as incertezas emforem relevantes, usar scipy.odrpara ODR/orthogonal regression.- Ajuste ODR (quando precisa considerar
e ) é recomendado em medições com erros comparáveis em ambos os eixos. - Sempre legende e marque unidades.
Passo 6
Como interpretar o gráfico e checar erros comuns\n
- Checar alinhamento: pontos bem próximos da reta ajustada indicam boa linearidade (se esse era o esperado). Desvios sistemáticos podem indicar erro experimental ou modelo inadequado.\n
- Tamanho das barras de erro: se as barras forem grandes comparadas ao spread dos pontos, a confiança no ajuste é menor. Em provas, comente isso.\n
- Se algum
for absurdamente maior (p.ex. divisão por um muito pequeno), verifique medidas e unidades.\n - Se
for desconhecido, considere duas abordagens ao reportar resultados: assumir (se p* for referência exata) ou estimar um valor razoável; sempre declarar a suposição.
Passo 7
Dicas de apresentação final (para a prova ou relatório)\n
- Mostre uma tabela com
, , , , , , , — isso facilita a conferência.\n - No gráfico, coloque: título curto, legendas, unidades nos eixos, grade leve e marker/capsize visíveis.\n
- Se fizer ajuste, apresente o valor da inclinação e intercepto com suas incertezas (usar covariância do ajuste ou ODR para incertezas adequadas) e interprete fisicamente se necessário.\n
- Comente suposições (independência dos erros, uso de ln natural, conversão para K, etc.) para mostrar rigor.
Resposta
Calcule
,
; use
e
(ou
se
); então plote
vs
com barras de erro horizontais
e verticais
(ex.: usando
plt.errorbar em Python).