Fazer um gráfico de \ln \frac{p}{p^{*}} em função do recíproco da temperatura absoluta, representando a barra de erro de cada ponto.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações são necessárias\n
  • O enunciado pede: fazer um gráfico de \ln\!\left(\dfrac{p}{p^{*}}\right) em função do recíproco da temperatura absoluta e representar a barra de erro de cada ponto.\n
  • Isso implica que, para cada medida, precisa-se dos seguintes valores (ou que eles existam nos seus dados):
    • T_i: temperatura absoluta (em kelvin) de cada ponto.
    • \sigma_{T,i}: incerteza (erro) em cada T_i.
    • p_i: pressão medida de cada ponto (mesma unidade para todos, ex.: Pa).
    • \sigma_{p,i}: incerteza em cada p_i.
    • p^{*}: pressão de referência (constante para todos os pontos) ou, se for variável, seus valores p^{*}_i.
    • \sigma_{p^{*}}: incerteza em p^{*} (se aplicável). Se p^{*} for uma constante sem incerteza conhecida, a barra de erro vertical dependerá só de \sigma_{p,i}.
  • O gráfico a produzir tem:
    • eixo horizontal: x_i=\dfrac{1}{T_i} (unidade: K ^{-1}),
    • eixo vertical: y_i=\ln\!\left(\dfrac{p_i}{p^{*}}\right).
  • O enunciado exige barras de erro para cada ponto — portanto precisamos calcular as incertezas em x_i (horizontais) e em y_i (verticais).

Passo 2

Regras matemáticas e física/estatística necessárias (explicação didática)\n
  • Por que usar \ln(p/p^{*}) versus 1/T?\n
    • Em muitos contextos (ex.: linearizar a equação de Clausius–Clapeyron) a relação entre pressão de vapor e temperatura fica praticamente linear quando se plota \ln p contra 1/T. Aqui a mesma ideia: transformamos a razão p/p^{*} em uma soma de logaritmos para facilitar análise linear.
  • Como transformar as grandezas: definição direta\n x_i = \frac{1}{T_i},\qquad y_i = \ln\!\left(\frac{p_i}{p^{*}}\right)=\ln p_i - \ln p^{*}.
    • Importante: sempre usar temperatura em kelvin. Converter se necessário (ex.: ^\circ\mathrm{C} para K: T[\mathrm{K}]=T[^\circ\mathrm{C}]+273{,}15).
  • Como propagar erros (princípio): usar aproximação de primeira ordem (propagação linear de incertezas)\n
    • Se y = f(a,b,\dots) e os erros nas variáveis são pequenos e independentes, a variância de y é aproximada por
    \sigma_y^{2}\approx\left(\frac{\partial f}{\partial a}\sigma_a\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial b}\sigma_b\right)^{2}+\cdots.
    • No nosso caso, para y=\ln p - \ln p^{*} (assumindo p e p^{*} independentes):
    \frac{\partial y}{\partial p}=\frac{1}{p},\qquad \frac{\partial y}{\partial p^{*}}=-\frac{1}{p^{*}},portanto \sigma_{y,i}=\sqrt{\left(\frac{\sigma_{p,i}}{p_i}\right)^{2}+\left(\frac{\sigma_{p^{*}}}{p^{*}}\right)^{2}}.
    • Se p^{*} for uma constante conhecida sem incerteza, então \sigma_{y,i}=\dfrac{\sigma_{p,i}}{p_i}.
    • Para x_i=1/T_i, a derivada é \dfrac{d}{dT}(1/T)=-1/T^{2}. Assim
    \sigma_{x,i}=\frac{\sigma_{T,i}}{T_i^{2}}.
    • Observação prática: \sigma_{x,i} costuma ser pequeno se \sigma_{T,i} é pequeno comparado a T_i, mas deve ser desenhado quando for relevante.
  • Verificações importantes antes de plotar:
    • Nenhum p_i pode ser negativo ou zero (log indefinido). Se houver valores próximos de zero, tratar ou remover.
    • Unidades consistentes: todas as pressões na mesma unidade; temperaturas em K.
    • Se houver correlação entre p e p^{*}, a fórmula de propagação muda — aqui assumimos independência.

Passo 3

Procedimento passo a passo (o que calcular, em ordem) — modo “fazer na prova/ laboratório”\n
  1. Converter temperaturas para kelvin se necessário: calcular T_i em K.\n
  2. Calcular x_i=\dfrac{1}{T_i} para cada ponto.\n
  3. Calcular y_i=\ln\!\left(\dfrac{p_i}{p^{*}}\right) para cada ponto.\n
  4. Calcular as incertezas:
    • \sigma_{x,i}=\dfrac{\sigma_{T,i}}{T_i^{2}}.
    • \sigma_{y,i}=\sqrt{\left(\dfrac{\sigma_{p,i}}{p_i}\right)^{2}+\left(\dfrac{\sigma_{p^{*}}}{p^{*}}\right)^{2}}, ou \sigma_{y,i}=\dfrac{\sigma_{p,i}}{p_i} se \sigma_{p^{*}}=0.\n
  5. Conferir números: ver se \sigma_{y,i} e \sigma_{x,i} têm magnitudes razoáveis (não exageradamente grandes). Se um erro for dominante, pode ser necessário reavaliar a medição.\n
  6. Fazer o gráfico: eixo horizontal \,x=1/T, eixo vertical \,y=\ln(p/p^{*}), adicionar barras de erro horizontais \sigma_x e verticais \sigma_y. Identificar pontos com marcadores visíveis e barras de erro claras.\n
  7. (Opcional) Ajuste linear: se o objetivo é ajustar uma reta (como em Clausius–Clapeyron), fazer ajuste linear ponderado por 1/\sigma_{y,i}^{2} — isto minimiza o erro quadrático ponderado vertical. Se as incertezas em x não são desprezíveis, usar regressão ortogonal ou ODR (Orthogonal Distance Regression).

Passo 4

Exemplo numérico ilustrativo — cálculo manual passo a passo (substitua pelos seus dados)\n
Suponha quatro medidas com estas entradas (apenas exemplo):
  • T = [290,\,300,\,310,\,320]\\ \mathrm{K}.
  • \sigma_T = [0{,}5,\,0{,}5,\,0{,}5,\,0{,}5]\\ \mathrm{K}.
  • p = [90000,\,100000,\,110000,\,120000]\\ \mathrm{Pa}.
  • \sigma_p = [2000,\,2000,\,2000,\,2000]\\ \mathrm{Pa}.
  • p^{*}=100000\\ \mathrm{Pa} com \sigma_{p^{*}}=500\\ \mathrm{Pa}.\n
    Calcular x_i e \sigma_{x,i}:\n
x_1=\frac{1}{290}=0{,}00344828,\qquad \sigma_{x,1}=\frac{0{,}5}{290^{2}}=5{,}945\times10^{-6}.\n
x_2=\frac{1}{300}=0{,}00333333,\qquad \sigma_{x,2}=\frac{0{,}5}{300^{2}}=5{,}556\times10^{-6}.\n
x_3=\frac{1}{310}=0{,}00322581,\qquad \sigma_{x,3}=\frac{0{,}5}{310^{2}}=5{,}202\times10^{-6}.\n
x_4=\frac{1}{320}=0{,}00312500,\qquad \sigma_{x,4}=\frac{0{,}5}{320^{2}}=4{,}883\times10^{-6}.\n
Calcular y_i e \sigma_{y,i}:\n
y_1=\ln\!\left(\frac{90000}{100000}\right)=\ln(0{,}9)=-0{,}1053605,
\left(\frac{\sigma_{p,1}}{p_1}\right)^{2}=\left(\frac{2000}{90000}\right)^{2}=0{,}00049383,\quad \left(\frac{\sigma_{p^{*}}}{p^{*}}\right)^{2}=\left(\frac{500}{100000}\right)^{2}=0{,}000025,
\sigma_{y,1}=\sqrt{0{,}00049383+0{,}000025}=0{,}02277.\n
y_2=\ln\!\left(\frac{100000}{100000}\right)=0,\qquad \sigma_{y,2}=\sqrt{\left(\frac{2000}{100000}\right)^{2}+0{,}000025}=0{,}02062.\n
y_3=\ln(1{,}1)=0{,}0953102,\qquad \sigma_{y,3}=0{,}01886.\n
y_4=\ln(1{,}2)=0{,}1823216,\qquad \sigma_{y,4}=0{,}01740.\n
Esses são os pontos e as barras de erro que você desenharia.

Passo 5

Como fazer o gráfico na prática — código em Python (matplotlib + numpy) e dicas\n
  • Rápido script que pode ser usado substituindo as listas pelos seus dados:\n
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Substitua pelos seus dados:
T = np.array([290., 300., 310., 320.])       # K
sigma_T = np.array([0.5, 0.5, 0.5, 0.5])     # K
p = np.array([90000., 100000., 110000., 120000.])  # Pa
sigma_p = np.array([2000., 2000., 2000., 2000.])   # Pa
p_star = 100000.                              # Pa
sigma_p_star = 500.                           # Pa

# Cálculos:
x = 1.0 / T
sigma_x = sigma_T / T**2
y = np.log(p / p_star)
sigma_y = np.sqrt((sigma_p / p)**2 + (sigma_p_star / p_star)**2)

# Plot com barras de erro horizontais e verticais:
plt.figure(figsize=(7,5))
plt.errorbar(x, y, xerr=sigma_x, yerr=sigma_y, fmt='o', capsize=4, markersize=6,
             label=r'Dados com barras de erro')
plt.xlabel(r'\(\dfrac{1}{T}\) (K\(^{-1}\))')
plt.ylabel(r'\(\ln\!\left(\dfrac{p}{p^{*}}\right)\)')
plt.grid(alpha=0.3)

# Opcional: ajuste linear ponderado por 1/sigma_y (ignora erros em x)
w = 1.0 / sigma_y
coef = np.polyfit(x, y, 1, w=w)   # retorna [slope, intercept]
slope, intercept = coef
xfit = np.linspace(x.min()*0.995, x.max()*1.005, 100)
yfit = slope*xfit + intercept
plt.plot(xfit, yfit, '-', color='C1', label=f'Ajuste: y={slope:.3e} x + {intercept:.3e}')

plt.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()
  • Observações sobre o código:
    • plt.errorbar desenha simultaneamente as barras de erro horizontais (xerr) e verticais (yerr).
    • w = 1/sigma_y instrui np.polyfit a fazer ajuste ponderado (minimização vertical). Se as incertezas em x forem relevantes, usar scipy.odr para ODR/orthogonal regression.
    • Ajuste ODR (quando precisa considerar \sigma_x e \sigma_y) é recomendado em medições com erros comparáveis em ambos os eixos.
    • Sempre legende e marque unidades.

Passo 6

Como interpretar o gráfico e checar erros comuns\n
  • Checar alinhamento: pontos bem próximos da reta ajustada indicam boa linearidade (se esse era o esperado). Desvios sistemáticos podem indicar erro experimental ou modelo inadequado.\n
  • Tamanho das barras de erro: se as barras forem grandes comparadas ao spread dos pontos, a confiança no ajuste é menor. Em provas, comente isso.\n
  • Se algum \sigma_{y,i} for absurdamente maior (p.ex. divisão por um p_i muito pequeno), verifique medidas e unidades.\n
  • Se \sigma_{p^{*}} for desconhecido, considere duas abordagens ao reportar resultados: assumir \sigma_{p^{*}}=0 (se p* for referência exata) ou estimar um valor razoável; sempre declarar a suposição.

Passo 7

Dicas de apresentação final (para a prova ou relatório)\n
  • Mostre uma tabela com T_i, \sigma_{T,i}, p_i, \sigma_{p,i}, x_i, \sigma_{x,i}, y_i, \sigma_{y,i} — isso facilita a conferência.\n
  • No gráfico, coloque: título curto, legendas, unidades nos eixos, grade leve e marker/capsize visíveis.\n
  • Se fizer ajuste, apresente o valor da inclinação e intercepto com suas incertezas (usar covariância do ajuste ou ODR para incertezas adequadas) e interprete fisicamente se necessário.\n
  • Comente suposições (independência dos erros, uso de ln natural, conversão para K, etc.) para mostrar rigor.

Resposta

Calcule x_i=\dfrac{1}{T_i}, y_i=\ln\!\left(\dfrac{p_i}{p^{*}}\right); use \sigma_{x,i}=\dfrac{\sigma_{T,i}}{T_i^{2}} e \sigma_{y,i}=\sqrt{\left(\dfrac{\sigma_{p,i}}{p_i}\right)^{2}+\left(\dfrac{\sigma_{p^{*}}}{p^{*}}\right)^{2}} (ou \sigma_{y,i}=\dfrac{\sigma_{p,i}}{p_i} se \sigma_{p^{*}}=0); então plote y vs x com barras de erro horizontais \sigma_{x,i} e verticais \sigma_{y,i} (ex.: usando plt.errorbar em Python).

Exercícios relacionados