Calcular o valor do calor de vaporização do tetracloreto de carbono sabendo-se que :
\ln \frac{p}{p^{*}}=-\frac{\Delta H_{v a p, m}}{R} \frac{1}{\mathrm{~T}}+\frac{\Delta H_{v a p, m}}{R} \frac{1}{\mathrm{~T}^{*}}

Passo 1

O enunciado dá a relação
\ln\frac{p}{p^{*}}=-\frac{\Delta H_{vap,m}}{R}\frac{1}{T}+\frac{\Delta H_{vap,m}}{R}\frac{1}{T^{*}}
e pede para calcular o valor do calor molar de vaporização \Delta H_{vap,m} do tetracloreto de carbono.
Informações explícitas fornecidas no enunciado:
  • A equação acima relaciona as pressões p e p^{*} e as temperaturas T e T^{*}.
  • A incógnita a ser encontrada é \Delta H_{vap,m}.
Observação importante (sem pedir nada ao usuário): o enunciado não fornece valores numéricos para p, p^{*}, T ou T^{*}. Portanto, para obter um valor numérico de \Delta H_{vap,m} é necessário conhecer esses quatro dados (ou pelo menos o quociente p/p^{*} e as temperaturas T e T^{*}). Se esses números não forem fornecidos, só se pode obter uma expressão algébrica para \Delta H_{vap,m}.

Passo 2

Isolar \Delta H_{vap,m} algebricamente a partir da equação dada.
Primeiro, fatorar \Delta H_{vap,m}/R no lado direito:
\ln\frac{p}{p^{*}}=\frac{\Delta H_{vap,m}}{R}\left(\frac{1}{T^{*}}-\frac{1}{T}\right).
Agora resolver para \Delta H_{vap,m} multiplicando ambos os lados por R e dividindo pelo parêntese:
\Delta H_{vap,m} =R\;\frac{\ln\!\left(\dfrac{p}{p^{*}}\right)}{\dfrac{1}{T^{*}}-\dfrac{1}{T}}.
Essa é a expressão direta que permite calcular \Delta H_{vap,m} se os valores de p, p^{*}, T e T^{*} forem conhecidos.

Passo 3

Explicação didática (o porquê da fórmula e as hipóteses por trás dela).
A equação dada é a forma integrada e linearizada da equação de Clausius–Clapeyron sob a aproximação de que o calor molar de vaporização \Delta H_{vap,m} é aproximadamente constante na faixa de temperaturas considerada e que o vapor comporta-se como gás ideal. De forma rápida e intuitiva:
  • A equação diferencial de Clausius–Clapeyron para a pressão de vapor p(T) é
\frac{d\ln p}{dT}=\frac{\Delta H_{vap,m}}{R\,T^{2}}.
  • Integrando entre T e T^{*}, assumindo \Delta H_{vap,m} constante, chega-se à forma usada no enunciado:
\ln\frac{p}{p^{*}}=\frac{\Delta H_{vap,m}}{R}\left(\frac{1}{T^{*}}-\frac{1}{T}\right).
Por isso a expressão obtida no passo anterior é consistente com a termodinâmica básica dos vapores.

Passo 4

Significado das variáveis e unidades (muito importante para a prova).
  • \Delta H_{vap,m}: calor molar de vaporização (unidade usual: \mathrm{J\;mol^{-1}} ou \mathrm{kJ\;mol^{-1}}).
  • R: constante universal dos gases, R=8{,}3145\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}.
  • T e T^{*}: temperaturas em kelvin ( \mathrm{K}). Sempre usar kelvin aqui, nunca graus Celsius.
  • p e p^{*}: pressões nas mesmas unidades; como aparecem dentro de um logaritmo de razão, basta que sejam na mesma unidade (por exemplo, ambas em \mathrm{Pa} ou ambas em \mathrm{atm}).
Dica prática para a prova: calcule a razão \ln(p/p^{*}) primeiro (é adimensional), calcule em seguida o denominador \dfrac{1}{T^{*}}-\dfrac{1}{T} (em \mathrm{K^{-1}}), e por fim multiplique por R. Evite arredondar cedo demais.

Passo 5

Exemplo numérico ilustrativo (mostra passo a passo como aplicar a fórmula na prova).
Suponha (apenas como exemplo) que p^{*}=1{,}00\\ \mathrm{atm}, p=0{,}20\\ \mathrm{atm}, T^{*}=350\\ \mathrm{K} e T=300\\ \mathrm{K}. Então:
  1. Calcular \ln(p/p^{*}):
\ln\!\left(\frac{p}{p^{*}}\right)=\ln(0{,}20)=-1{,}6094\ldots
  1. Calcular o denominador:
\frac{1}{T^{*}}-\frac{1}{T}=\frac{1}{350}-\frac{1}{300}=\frac{300-350}{350\cdot300}=-\frac{50}{105000}=-0{,}00047619\ldots\\ \mathrm{K^{-1}}.
  1. Formar a razão e multiplicar por R:
\Delta H_{vap,m}=8{,}3145\;\frac{-1{,}6094}{-0{,}00047619}=8{,}3145\times3379{,}0\ldots\approx2{,}808\times10^{4}\\ \mathrm{J\;mol^{-1}},
ou seja \approx28{,}1\\ \mathrm{kJ\;mol^{-1}}.
Esse exemplo mostra que sinais opostos no numerador e no denominador resultam em \Delta H_{vap,m} positivo, como esperado (vaporização absorve calor).

Passo 6

Observações finais e cuidados na prova.
  • Se a equação for usada com T^{*} sendo o ponto de ebulição normal (pressão p^{*}=1\\ \mathrm{atm}), então p deve ser a pressão de vapor na temperatura T (ou vice-versa conforme como o problema é apresentado). Sempre leia com atenção qual temperatura corresponde a qual pressão.
  • Se faltarem valores numéricos no enunciado (como neste caso), não é possível produzir um número final; o melhor é apresentar a expressão isolada para \Delta H_{vap,m} (como no passo 2) e então dizer quais dados são necessários para calcular numericamente.

Resposta

\displaystyle \Delta H_{vap,m}=R\;\frac{\ln\!\left(\dfrac{p}{p^{*}}\right)}{\dfrac{1}{T^{*}}-\dfrac{1}{T}}.\nNão é possível dar um valor numérico porque os valores de p, p^{*}, T e T^{*} não foram fornecidos.

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