Fazer o gráfico da região limitada pelas curvas e calcular sua área.
e
Passo 1
O enunciado dá duas curvas:
e
. Pede duas coisas: (1) fazer o gráfico da região limitada por essas duas curvas; (2) calcular a área dessa região. As informações relevantes que temos diretamente do enunciado são as duas equações das curvas e que a região é a parte do plano limitada por elas (ou seja, onde elas se intersectam e o trecho entre essas interseções).
Passo 2
Primeiro vamos achar os pontos de interseção das curvas, porque a região limitada está entre esses pontos. Igualamos as duas equações:
Resolvo a equação:
Calculando as coordenadas
nesses
: em
temos
(pois é ponto de interseção). Portanto os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Agora precisamos saber qual curva fica “por cima” (maior
) entre essas interseções. Avalio em um ponto interior, por exemplo em
:
Como
, a parábola
está acima da reta
no intervalo entre
e
. Logo, a altura vertical do fatia é a diferença
.
Passo 4
Vou explicar o método padrão para calcular área entre duas curvas (vai cair na prova com certeza). Se duas funções contínuas
e
satisfazem
em
, a área da região entre elas é
Por que isso? Pense em dividir
em muitas tirinhas verticais de largura
. Cada tirinha tem altura
, então sua área é aproximadamente
. Somando todas (integrando) obtemos a área total. Aqui
e
são as abscissas dos pontos de interseção que acabamos de achar;
é a função de cima;
a de baixo.
Passo 5
Aplicando ao nosso caso:
,
,
,
. Portanto a integral que dá a área é
Passo 6
Calculo passo a passo da integral. Primeiro a primitiva de
é
Avalio de
a
:
Calculo cada termo:
Subtraindo:
Portanto a área é
.
Passo 7
Checagem rápida por simetria (dica de prova): a função integranda
é par (mesmo), então
Calculando
, multiplicando por
dá
, mesma resposta — bom sinal.
Passo 8
Como fazer o esboço do gráfico (passo a passo, pra desenhar na prova):
- Desenhe o sistema de eixos
e . - Plote a parábola
: vértice em , interceptos com o eixo em . Ela abre para baixo. - Desenhe a reta horizontal
. - Marque os pontos de interseção
e (achados no Passo 2). - A região limitada é a “casquinha” entre a parábola (acima) e a reta
(abaixo), para . Sombras essa região (entre as duas curvas, fechada pelas interseções nas extremidades).
Resposta
Gráfico: região entre a parábola
(acima) e a reta
(abaixo), limitada pelos pontos de interseção
e
.
Área:
Área: