Fazer o gráfico da região limitada pelas curvas e calcular sua área.
y=1-x^{2} e y=-3

Passo 1

O enunciado dá duas curvas: y=1-x^{2} e y=-3. Pede duas coisas: (1) fazer o gráfico da região limitada por essas duas curvas; (2) calcular a área dessa região. As informações relevantes que temos diretamente do enunciado são as duas equações das curvas e que a região é a parte do plano limitada por elas (ou seja, onde elas se intersectam e o trecho entre essas interseções).

Passo 2

Primeiro vamos achar os pontos de interseção das curvas, porque a região limitada está entre esses pontos. Igualamos as duas equações:
1-x^{2} = -3.
Resolvo a equação:
1 - x^{2} = -3 \implies -x^{2} = -4 \implies x^{2} = 4 \implies x = \pm 2.
Calculando as coordenadas y nesses x: em x=\pm 2 temos y=-3 (pois é ponto de interseção). Portanto os pontos de interseção são (-2,-3) e (2,-3).

Passo 3

Agora precisamos saber qual curva fica “por cima” (maior y) entre essas interseções. Avalio em um ponto interior, por exemplo em x=0:
y_{\text{parábola}}(0) = 1-0^{2} = 1,\qquad y_{\text{reta}}(0) = -3.á
Como 1 > -3, a parábola y=1-x^{2} está acima da reta y=-3 no intervalo entre -2 e 2. Logo, a altura vertical do fatia é a diferença (\text{parábola}) - (\text{reta})á.

Passo 4

Vou explicar o método padrão para calcular área entre duas curvas (vai cair na prova com certeza). Se duas funções contínuas f(x) e g(x) satisfazem f(x)\ge g(x) em [a,b], a área da região entre elas é
A=\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.
Por que isso? Pense em dividir [a,b] em muitas tirinhas verticais de largura \,dx. Cada tirinha tem altura f(x)-g(x), então sua área é aproximadamente (f(x)-g(x))\,dx. Somando todas (integrando) obtemos a área total. Aqui a e b são as abscissas dos pontos de interseção que acabamos de achar; f(x) é a função de cima; g(x) a de baixo.

Passo 5

Aplicando ao nosso caso: f(x)=1-x^{2}, g(x)=-3, a=-2, b=2. Portanto a integral que dá a área é
A=\int_{-2}^{2}\bigl((1-x^{2})-(-3)\bigr)\,dx=\int_{-2}^{2}\bigl(4-x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 6

Calculo passo a passo da integral. Primeiro a primitiva de 4-x^{2} é
\int (4-x^{2})\,dx = 4x - \frac{x^{3}}{3} + C.
Avalio de -2 a 2:
\left[4x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{-2}^{2} = \left(4\cdot 2 - \frac{2^{3}}{3}\right) - \left(4\cdot(-2) - \frac{(-2)^{3}}{3}\right).
Calculo cada termo:
4\cdot 2 - \frac{8}{3} = 8 - \frac{8}{3} = \frac{24-8}{3}=\frac{16}{3},
4\cdot(-2) - \frac{(-8)}{3} = -8 + \frac{8}{3} = -\frac{24-8}{3}=-\frac{16}{3}.
Subtraindo:
\frac{16}{3} - \left(-\frac{16}{3}\right) = \frac{32}{3}.
Portanto a área é \dfrac{32}{3}.

Passo 7

Checagem rápida por simetria (dica de prova): a função integranda 4-x^{2} é par (mesmo), então
\int_{-2}^{2} (4-x^{2})\,dx = 2\int_{0}^{2} (4-x^{2})\,dx.
Calculando \int_{0}^{2} (4-x^{2})\,dx = \left[4x-\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = \dfrac{16}{3}, multiplicando por 2 \dfrac{32}{3}, mesma resposta — bom sinal.

Passo 8

Como fazer o esboço do gráfico (passo a passo, pra desenhar na prova):
  1. Desenhe o sistema de eixos x e y.
  2. Plote a parábola y=1-x^{2}: vértice em (0,1), interceptos com o eixo x em (\pm 1,0). Ela abre para baixo.
  3. Desenhe a reta horizontal y=-3.
  4. Marque os pontos de interseção (-2,-3) e (2,-3) (achados no Passo 2).
  5. A região limitada é a “casquinha” entre a parábola (acima) e a reta y=-3 (abaixo), para -2\le x\le 2. Sombras essa região (entre as duas curvas, fechada pelas interseções nas extremidades).

Resposta

Gráfico: região entre a parábola y=1-x^{2} (acima) e a reta y=-3 (abaixo), limitada pelos pontos de interseção (-2,-3) e (2,-3).
Área: \dfrac{32}{3}

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