Fazer o gráfico da região limitada pelas curvas e calcular sua área.
x=y^{3} e x=y

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: desenhar (fazer o gráfico de) a região limitada pelas curvas x=y^{3} e x=y e calcular a área dessa região. Informações dadas: as duas curvas são as equações explícitas em x como função de y,
x=y^{3}
e
x=y.
Não há outras informações. Nosso objetivo: identificar a região fechada por essas duas curvas, esboçar como ela fica no plano (x,y) e calcular a área dessa região.

Passo 2

Primeiro passo técnico: encontrar os pontos de interseção (onde as duas curvas se cortam). Igualamos as duas expressões de x:
y^{3}=y.
Resolvendo,
y^{3}-y=0\quad\Rightarrow\quad y(y^{2}-1)=0.
Logo as soluções são \,y=-1,\;y=0,\;y=1. Assim os pontos de interseção são
(-1,-1),\quad(0,0),\quad(1,1).

Passo 3

Qual método usar para a área? As curvas estão dadas como x= função de y. Quando as fronteiras são dadas por x=x_{R}(y) (direita) e x=x_{L}(y) (esquerda), a fórmula para a área entre elas, usando fatias horizontais (integrando em y), é
\text{Área}=\int_{y=a}^{y=b}\bigl(x_{R}(y)-x_{L}(y)\bigr)\,dy,Á
onde a e b são as ordens y das interseções (aqui -1 e 1). Explicando as letras: x_{R}(y) é o valor de x da curva que está mais à direita para um dado y, e x_{L}(y) é o valor de x da curva que está mais à esquerda para o mesmo y. Usamos essa fórmula porque estamos “varrendo” a região com segmentos horizontais de comprimento x_{R}-x_{L}.

Passo 4

Precisamos saber, para cada y entre -1 e 1, qual curva dá x maior (direita) e qual dá x menor (esquerda). Consideramos a diferença
f(y)=y-y^{3}=y(1-y^{2}).
  • Se y\in(0,1) então y>0 e 1-y^{2}>0, logo f(y)>0. Isso significa y>y^{3}, ou seja, para y em (0,1) a reta x=y está à direita de x=y^{3}.
  • Se y\in(-1,0) então y<0 e 1-y^{2}>0, logo f(y)<0. Isso significa y<y^{3}, ou seja, para y em (-1,0) a curva x=y^{3} está à direita da reta x=y.
    Em y=-1,0,1 as curvas se encontram (já achadas no Passo 2).

Passo 5

Montamos a integral da área, dividindo em dois pedaços onde a ordem direita/esquerda troca em y=0:
\text{Área}=\int_{-1}^{0}\bigl(x_{R}-x_{L}\bigr)\,dy+\int_{0}^{1}\bigl(x_{R}-x_{L}\bigr)\,dy.Á
Para y\in[-1,0] temos x_{R}=y^{3} e x_{L}=y, logo o integrando é y^{3}-y. Para y\in[0,1] temos x_{R}=y e x_{L}=y^{3}, logo o integrando é y-y^{3}. Assim
\text{Área}=\int_{-1}^{0}\bigl(y^{3}-y\bigr)\,dy+\int_{0}^{1}\bigl(y-y^{3}\bigr)\,dy.Á

Passo 6

Calculemos cada integral passo a passo. Uma primitiva de y é \tfrac{1}{2}y^{2} e de y^{3} é \tfrac{1}{4}y^{4}.
Para a primeira integral:
\int_{-1}^{0}\bigl(y^{3}-y\bigr)\,dy=\Bigl[\tfrac{1}{4}y^{4}-\tfrac{1}{2}y^{2}\Bigr]_{-1}^{0}.
Avaliação: em y=0 0. Em y=-1 \tfrac{1}{4}\cdot 1-\tfrac{1}{2}\cdot 1=\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2}=-\tfrac{1}{4}. Subtraindo,
\int_{-1}^{0}\bigl(y^{3}-y\bigr)\,dy=0-(-\tfrac{1}{4})=\tfrac{1}{4}.
Para a segunda integral:
\int_{0}^{1}\bigl(y-y^{3}\bigr)\,dy=\Bigl[\tfrac{1}{2}y^{2}-\tfrac{1}{4}y^{4}\Bigr]_{0}^{1}.
Avaliação em 1 \tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{4}. Em 0 0. Portanto
\int_{0}^{1}\bigl(y-y^{3}\bigr)\,dy=\tfrac{1}{4}.
Somando as duas parcelas:
\text{Área}=\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{2}.Á
(Observação: poderíamos também ter usado simetria das funções ímpares para escrever \text{Área}=2\int_{0}^{1}(y-y^{3})\,dyÁ e obter o mesmo resultado.)

Passo 7

Como desenhar o gráfico (descrição para esboço na prova): desenhe os eixos x-horizontal e y-vertical. Marque os pontos de interseção (-1,-1),(0,0),(1,1). A reta x=y é a linha reta passando por esses pontos com inclinação 1 (linha de 45°). A curva x=y^{3} é uma “cúbica horizontal”: para y>0 cresce lentamente (por exemplo y=1 x=1, y=0,5 x=0,125), e para y<0 fica mais à direita do que a reta na parte negativa (por exemplo y=-0,5 x=-0,125). Entre -1 e 0 a cúbica está à direita da reta; entre 0 e 1 a reta está à direita da cúbica. A região limitada é a “folha” entre essas duas curvas ligada pelos três pontos de interseção — sombreie essa região ao desenhar.

Resposta

\tfrac{1}{2}

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