Fazer o gráfico da região limitada pelas curvas e calcular sua área.
e
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: desenhar (fazer o gráfico de) a região limitada pelas curvas
e
e calcular a área dessa região. Informações dadas: as duas curvas são as equações explícitas em
como função de
,
e
Não há outras informações. Nosso objetivo: identificar a região fechada por essas duas curvas, esboçar como ela fica no plano
e calcular a área dessa região.
Passo 2
Primeiro passo técnico: encontrar os pontos de interseção (onde as duas curvas se cortam). Igualamos as duas expressões de
:
Resolvendo,
Logo as soluções são
. Assim os pontos de interseção são
Passo 3
Qual método usar para a área? As curvas estão dadas como
função de
. Quando as fronteiras são dadas por
(direita) e
(esquerda), a fórmula para a área entre elas, usando fatias horizontais (integrando em
), é
onde
e
são as ordens
das interseções (aqui
e
). Explicando as letras:
é o valor de
da curva que está mais à direita para um dado
, e
é o valor de
da curva que está mais à esquerda para o mesmo
. Usamos essa fórmula porque estamos “varrendo” a região com segmentos horizontais de comprimento
.
Passo 4
Precisamos saber, para cada
entre
e
, qual curva dá
maior (direita) e qual dá
menor (esquerda). Consideramos a diferença
- Se
então e , logo . Isso significa , ou seja, para em a reta está à direita de . - Se
então e , logo . Isso significa , ou seja, para em a curva está à direita da reta .
Emas curvas se encontram (já achadas no Passo 2).
Passo 5
Montamos a integral da área, dividindo em dois pedaços onde a ordem direita/esquerda troca em
:
Para
temos
e
, logo o integrando é
. Para
temos
e
, logo o integrando é
. Assim
Passo 6
Calculemos cada integral passo a passo. Uma primitiva de
é
e de
é
.
Para a primeira integral:
Avaliação: em
dá
. Em
dá
. Subtraindo,
Para a segunda integral:
Avaliação em
dá
. Em
dá
. Portanto
Somando as duas parcelas:
(Observação: poderíamos também ter usado simetria das funções ímpares para escrever
e obter o mesmo resultado.)
Passo 7
Como desenhar o gráfico (descrição para esboço na prova): desenhe os eixos
-horizontal e
-vertical. Marque os pontos de interseção
. A reta
é a linha reta passando por esses pontos com inclinação
(linha de 45°). A curva
é uma “cúbica horizontal”: para
cresce lentamente (por exemplo
dá
,
dá
), e para
fica mais à direita do que a reta na parte negativa (por exemplo
dá
). Entre
e
a cúbica está à direita da reta; entre
e
a reta está à direita da cúbica. A região limitada é a “folha” entre essas duas curvas ligada pelos três pontos de interseção — sombreie essa região ao desenhar.