\int_{C} x+12 x z d s sendo C dada por \vec{r}(t)=\left(t, \frac{t^{2}}{2}, \frac{t^{4}}{4}\right) para -2 \leqslant t \leqslant 1.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se calcular a integral de linha
\int_{C} x+12 x z\, d s
onde a função escalar integrada ao longo da curva é f(x,y,z)=x+12 x z e o diferencial é o comprimento de arco d s.
  • A curva C está parametrizada por
\vec{r}(t)=\left(t,\;\frac{t^{2}}{2},\;\frac{t^{4}}{4}\right),
com o parâmetro variando em -2 \leqslant t \leqslant 1.
Informações relevantes listadas:
  • A integral de linha de uma função escalar f ao longo de uma curva parametrizada \vec{r}(t) é dada por
\int_{C} f\, d s = \int_{t=a}^{t=b} f(\vec{r}(t))\,\|\vec{r}\,'(t)\|\,dt.
  • Portanto precisamos: (i) avaliar f ao longo da parametrização, e (ii) calcular \|\vec{r}\,'(t)\|. A resolução começa agora.

Passo 2

Calcular a derivada da parametrização e seu módulo (isto fornece d s = \|\vec{r}\,'(t)\|\,dt).
  • Derivando componente a componente:
\vec{r}\,'(t)=\left(1,\;t,\;t^{3}\right).
  • O comprimento do vetor velocidade é
\|\vec{r}\,'(t)\|=\sqrt{1+t^{2}+t^{6}}.
Explicação curta: \|\vec{v}\|=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}; aqui v_{1}=1,\;v_{2}=t,\;v_{3}=t^{3}.

Passo 3

Avaliar a função f(x,y,z)=x+12 x z ao longo da curva substituindo \vec{r}(t).
  • Pegando x=t e z=\dfrac{t^{4}}{4} da parametrização \vec{r}(t), obtemos
f(\vec{r}(t))=t+12\cdot t\cdot\frac{t^{4}}{4}=t+3t^{5}.
Comentário didático: multiplicamos 12 por t e por t^{4}/4, daí 12\cdot\frac{1}{4}=3 e resulta 3t^{5}.

Passo 4

Montar a integral paramétrica e olhar para uma simplificação possível.
  • Substituindo em \int_{C} f\,d s=\int_{-2}^{1} f(\vec{r}(t))\|\vec{r}\,'(t)\|\,dt, obtemos
\int_{-2}^{1} \bigl(t+3t^{5}\bigr)\sqrt{1+t^{2}+t^{6}}\,dt.
  • Observação chave (truque que facilita a conta): calcule a derivada de 1+t^{2}+t^{6}:
\frac{d}{dt}\bigl(1+t^{2}+t^{6}\bigr)=2t+6t^{5}=2\bigl(t+3t^{5}\bigr).
Portanto \bigl(t+3t^{5}\bigr) é exatamente metade da derivada de 1+t^{2}+t^{6}. Isso sugere a substituição u=1+t^{2}+t^{6}.

Passo 5

Fazer a substituição u=1+t^{2}+t^{6} e transformar a integral.
  • Definindo u=1+t^{2}+t^{6} temos \dfrac{du}{dt}=2\bigl(t+3t^{5}\bigr), logo
\bigl(t+3t^{5}\bigr)\,dt=\frac{1}{2}\,du.
  • Assim a integral se transforma em
\int_{t=-2}^{t=1} \bigl(t+3t^{5}\bigr)\sqrt{1+t^{2}+t^{6}}\,dt = \int_{u=u(-2)}^{u=u(1)} \frac{1}{2}\sqrt{u}\,du.

Passo 6

Determinar os limites em u e integrar em u.
  • Calcular os limites:
u(1)=1+1^{2}+1^{6}=1+1+1=3,
u(-2)=1+(-2)^{2}+(-2)^{6}=1+4+64=69.
  • Portanto a integral em u é
\frac{1}{2}\int_{69}^{3} u^{1/2}\,du.
  • Integrando u^{1/2}: \displaystyle \int u^{1/2}\,du=\frac{2}{3}u^{3/2}. Multiplicando pelo \tfrac{1}{2} temos \tfrac{1}{3}u^{3/2}.
  • Avaliando nos limites (note que a ordem dos limites é de 69 até 3; vamos manter essa ordem e subtrair corretamente):
\frac{1}{3}\Bigl[u^{3/2}\Bigr]_{u=69}^{u=3} =\frac{1}{3}\bigl(3^{3/2}-69^{3/2}\bigr).

Passo 7

Interpretar o resultado e, se quiser, simplificar a forma final.
  • Podemos escrever 3^{3/2}=3\sqrt{3} e 69^{3/2}=69\sqrt{69}, então a resposta fica
\frac{1}{3}\bigl(3\sqrt{3}-69\sqrt{69}\bigr).
  • Observação intuitiva: o valor é negativo porque, para valores de t negativos (em particular perto de -2), a quantidade t+3t^{5} é negativa e o fator \sqrt{1+t^{2}+t^{6}} é positivo, fazendo a integral total ficar negativa.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\bigl(3^{3/2}-69^{3/2}\bigr)

Exercícios relacionados