sendo
dada por
para
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede-se calcular a integral de linha
onde a função escalar integrada ao longo da curva é
e o diferencial é o comprimento de arco
.
- A curva
está parametrizada por
com o parâmetro variando em
.
Informações relevantes listadas:
- A integral de linha de uma função escalar
ao longo de uma curva parametrizada é dada por
- Portanto precisamos: (i) avaliar
ao longo da parametrização, e (ii) calcular . A resolução começa agora.
Passo 2
Calcular a derivada da parametrização e seu módulo (isto fornece
).
- Derivando componente a componente:
- O comprimento do vetor velocidade é
Explicação curta:
; aqui
.
Passo 3
Avaliar a função
ao longo da curva substituindo
.
- Pegando
e da parametrização , obtemos
Comentário didático: multiplicamos
por
e por
, daí
e resulta
.
Passo 4
Montar a integral paramétrica e olhar para uma simplificação possível.
- Substituindo em
, obtemos
- Observação chave (truque que facilita a conta): calcule a derivada de
:
Portanto
é exatamente metade da derivada de
. Isso sugere a substituição
.
Passo 5
Fazer a substituição
e transformar a integral.
- Definindo
temos , logo
- Assim a integral se transforma em
Passo 6
Determinar os limites em
e integrar em
.
- Calcular os limites:
- Portanto a integral em
é
- Integrando
: . Multiplicando pelo temos . - Avaliando nos limites (note que a ordem dos limites é de
até ; vamos manter essa ordem e subtrair corretamente):
Passo 7
Interpretar o resultado e, se quiser, simplificar a forma final.
- Podemos escrever
e , então a resposta fica
- Observação intuitiva: o valor é negativo porque, para valores de
negativos (em particular perto de ), a quantidade é negativa e o fator é positivo, fazendo a integral total ficar negativa.