Fazer uma representação gráfica do domínio das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a representação gráfica do domínio dessa função.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é
. - As variáveis
e são variáveis reais (ou seja, estamos no plano cartesiano ). - O que se pede: desenhar (ou descrever) o conjunto de pontos
para os quais está bem definida (ou seja, o domínio da função).
Passo 2
Entender a restrição da função: quando a expressão dentro do log é válida.
Propriedade básica do logaritmo natural: a função está definida apenas para
. Explicando de forma simples:
é o número que satisfaz
, e como
para todo
, só existe
quando
é positivo. Portanto, para
ser definida precisamos ter
Propriedade básica do logaritmo natural: a função
Não vale
(porque
não existe) nem
(porque
de número negativo também não existe no conjunto dos reais).
Passo 3
Transformar a desigualdade para uma forma fácil de interpretar geometricamente.
A desigualdade
A desigualdade
pode ser reescrita isolando
:
Portanto o domínio é o conjunto de todos os pares
tais que
é estritamente menor que
.
Passo 4
Identificar a fronteira e o tipo de região no plano.
A equação da fronteira é
A equação da fronteira é
ou seja
que é a reta diagonal que passa pela origem com inclinação
(ângulo de
). Como a desigualdade é estrita (
), a reta
não pertence ao domínio: ela é a fronteira não incluída. Assim o domínio é um meio-plano aberto limitado pela reta
.
Passo 5
Como desenhar passo a passo (o que fazer no caderno ou na prova):
- Desenhe os eixos
(horizontal) e (vertical). - Trace a reta
(linha na diagonal passando pela origem). Como a fronteira não está incluída, desenhe essa reta em tracejado (—) para lembrar que pontos sobre a reta não pertencem ao domínio. - Para decidir de que lado sombrear, escolha um ponto teste que não esteja na reta. Um teste fácil é
. Substitua na condição:
logo
pertence ao domínio. Sombreie o lado da reta que contém
. Esse é o conjunto de pontos com
.
4. Para checar, um ponto fora do domínio: dá
4. Para checar, um ponto fora do domínio:
então
não pertence ao domínio — confirma que sombreamos o lado correto.
Passo 6
Descrição final do domínio em notação matemática e em palavras.
Notação em conjunto:
Notação em conjunto:
Em palavras: o domínio é o semi-plano aberto formado por todos os pontos do plano estritamente “abaixo” da reta
(ou, equivalente, todos os pontos com
maior que
), sem incluir a própria reta.
Passo 7
Exemplos e dicas rápidas para a prova (prático e diretaço):
- Exemplos de pontos no domínio:
, , — todos satisfazem . - Exemplos de pontos fora:
(na reta), , (todos com ). - Regra de ouro: para qualquer
, monte a desigualdade , simplifique e represente geometricamente (reta, círculo, etc.) seguindo o mesmo processo de teste de ponto.