Fazer uma representação gráfica do domínio das seguintes funções:
f(x, y)=\ln (x-y)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\ln(x-y) e pede a representação gráfica do domínio dessa função.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é f(x,y)=\ln(x-y).
  • As variáveis x e y são variáveis reais (ou seja, estamos no plano cartesiano \mathbb{R}^2).
  • O que se pede: desenhar (ou descrever) o conjunto de pontos (x,y) para os quais f(x,y) está bem definida (ou seja, o domínio da função).

Passo 2

Entender a restrição da função: quando a expressão dentro do log é válida.
Propriedade básica do logaritmo natural: a função \ln(t) está definida apenas para t>0. Explicando de forma simples: \ln(t) é o número que satisfaz e^{\ln(t)}=t, e como e^u>0 para todo u\in\mathbb{R}, só existe \ln(t) quando t é positivo. Portanto, para f(x,y)=\ln(x-y) ser definida precisamos ter
x-y>0.
Não vale x-y=0 (porque \ln(0) não existe) nem x-y<0 (porque \ln de número negativo também não existe no conjunto dos reais).

Passo 3

Transformar a desigualdade para uma forma fácil de interpretar geometricamente.
A desigualdade
x-y>0
pode ser reescrita isolando y:
x-y>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x>y \quad\Longleftrightarrow\quad y<x.
Portanto o domínio é o conjunto de todos os pares (x,y) tais que y é estritamente menor que x.

Passo 4

Identificar a fronteira e o tipo de região no plano.
A equação da fronteira é
x-y=0,
ou seja
y=x,
que é a reta diagonal que passa pela origem com inclinação 1 (ângulo de 45^\circ). Como a desigualdade é estrita ( >), a reta y=x não pertence ao domínio: ela é a fronteira não incluída. Assim o domínio é um meio-plano aberto limitado pela reta y=x.

Passo 5

Como desenhar passo a passo (o que fazer no caderno ou na prova):
  1. Desenhe os eixos x (horizontal) e y (vertical).
  2. Trace a reta y=x (linha na diagonal passando pela origem). Como a fronteira não está incluída, desenhe essa reta em tracejado (—) para lembrar que pontos sobre a reta não pertencem ao domínio.
  3. Para decidir de que lado sombrear, escolha um ponto teste que não esteja na reta. Um teste fácil é (1,0). Substitua na condição:
1-0=1>0,
logo (1,0) pertence ao domínio. Sombreie o lado da reta que contém (1,0). Esse é o conjunto de pontos com x>y.
4. Para checar, um ponto fora do domínio: (0,1)
0-1=-1\not>0,
então (0,1) não pertence ao domínio — confirma que sombreamos o lado correto.

Passo 6

Descrição final do domínio em notação matemática e em palavras.
Notação em conjunto:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x-y>0\}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x>y\}.
Em palavras: o domínio é o semi-plano aberto formado por todos os pontos do plano estritamente “abaixo” da reta y=x (ou, equivalente, todos os pontos com x maior que y), sem incluir a própria reta.

Passo 7

Exemplos e dicas rápidas para a prova (prático e diretaço):
  • Exemplos de pontos no domínio: (2,0), (0,-1), (3,2{,}9) — todos satisfazem x>y.
  • Exemplos de pontos fora: (1,1) (na reta), (0,2), (-1,0) (todos com x\le y).
  • Regra de ouro: para qualquer f(x,y)=\ln(\text{algo}), monte a desigualdade \text{algo}>0, simplifique e represente geometricamente (reta, círculo, etc.) seguindo o mesmo processo de teste de ponto.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x-y>0\}

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