(Fcmscsp) Em uma reta são marcados os pontos distintos \mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R} e S , nessa ordem, tal que \mathrm{PQ}=1 e QS =2. Se as medidas PQ , QR e RS serão utilizadas como lados de um triângulo, então todos os valores possíveis para QR estão no intervalo real
a) ] \frac{3}{2}, 2[
b) ] \frac{1}{2}, \frac{3}{2}[
c) ] \frac{3}{5}, \frac{6}{5}[
d) ] 1, \frac{3}{2}[
e) ] \frac{7}{4}, 2[

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (pontos marcados numa reta, nessa ordem): P, Q, R, S. Foi dado que PQ=1 e QS=2. A pergunta é: quais são todos os valores possíveis para QR de modo que as três medidas PQ, QR e RS possam ser usadas como lados de um triângulo? (Escolher o intervalo correto entre as alternativas.)

Passo 2

Vamos colocar uma letra para a incógnita que queremos estudar. Seja x = QR. Como os pontos estão na ordem P,Q,R,S, o segmento QS é a soma de QR e RS. Portanto
RS = QS - QR = 2 - x.
Também temos PQ = 1.

Passo 3

Pelo fato de Q, R, S serem pontos distintos e nessa ordem, as medidas QR e RS são positivas. Logo
x>0 \quad\text{e}\quad 2-x>0,
ou seja
0<x<2.
Mas isso é só uma condição de existência dos segmentos; ainda precisamos a condição de serem lados de um triângulo.

Passo 4

Lembrete (aula rápida sobre desigualdade triangular): três comprimentos positivos a,b,c podem ser os lados de um triângulo se, e somente se, cada um for menor que a soma dos outros dois. Formalmente:
a < b + c,\qquad b < a + c,\qquad c < a + b.
Aqui tinhamos a=PQ=1, b=QR=x e c=RS=2-x. Vamos aplicar cada uma dessas desigualdades.

Passo 5

Aplicando a < b + c (isto é, 1 < x + (2-x)):
1 < x + 2 - x = 2.
Isto é verdade sempre ( 1<2 ), então não impõe restrição nova em x.

Passo 6

Aplicando b < a + c (isto é, x < 1 + (2-x)):
x < 1 + 2 - x \quad\Rightarrow\quad x < 3 - x.
Somando x aos dois lados obtemos
2x < 3 \quad\Rightarrow\quad x < \tfrac{3}{2}.
Essa é uma restrição superior para x.

Passo 7

Aplicando c < a + b (isto é, 2-x < 1 + x):
2 - x < 1 + x \quad\Rightarrow\quad 2 - 1 < x + x
1 < 2x \quad\Rightarrow\quad x > \tfrac{1}{2}.
Essa é uma restrição inferior para x.

Passo 8

Reunindo as informações: da existência dos segmentos tínhamos 0<x<2; das desigualdades triangulares importantes obtivemos x>\tfrac{1}{2} e x<\tfrac{3}{2}. As desigualdades mais fortes são, portanto, x>\tfrac{1}{2} e x<\tfrac{3}{2}. Observação: as desigualdades são estritas porque igualdades gerariam triângulos degenerados (colineares), não triângulos propriamente ditos.

Passo 9

Um par de exemplos para fixar a intuição:
  • Se x=1 então os lados seriam 1,1,1 (equilátero) — funciona.
  • Se x=0{,}6 então os lados seriam 1,0{,}6,1{,}4 — também funcionam.
  • Se x=\tfrac{3}{2} (igual a 1{,}5) seria degenerado ( x= a+c), então não vale.

Resposta

b) ] \tfrac{1}{2}, \tfrac{3}{2}[

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