(Fcmscsp) Em uma reta são marcados os pontos distintos
e S , nessa ordem, tal que
e QS
. Se as medidas PQ , QR e RS serão utilizadas como lados de um triângulo, então todos os valores possíveis para QR estão no intervalo real
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (pontos marcados numa reta, nessa ordem):
. Foi dado que
e
. A pergunta é: quais são todos os valores possíveis para
de modo que as três medidas
,
e
possam ser usadas como lados de um triângulo? (Escolher o intervalo correto entre as alternativas.)
Passo 2
Vamos colocar uma letra para a incógnita que queremos estudar. Seja
. Como os pontos estão na ordem
, o segmento
é a soma de
e
. Portanto
Também temos
.
Passo 3
Pelo fato de
,
,
serem pontos distintos e nessa ordem, as medidas
e
são positivas. Logo
ou seja
Mas isso é só uma condição de existência dos segmentos; ainda precisamos a condição de serem lados de um triângulo.
Passo 4
Lembrete (aula rápida sobre desigualdade triangular): três comprimentos positivos
podem ser os lados de um triângulo se, e somente se, cada um for menor que a soma dos outros dois. Formalmente:
Aqui tinhamos
,
e
. Vamos aplicar cada uma dessas desigualdades.
Passo 5
Aplicando
(isto é,
):
Isto é verdade sempre (
), então não impõe restrição nova em
.
Passo 6
Aplicando
(isto é,
):
Somando
aos dois lados obtemos
Essa é uma restrição superior para
.
Passo 7
Aplicando
(isto é,
):
Essa é uma restrição inferior para
.
Passo 8
Reunindo as informações: da existência dos segmentos tínhamos
; das desigualdades triangulares importantes obtivemos
e
. As desigualdades mais fortes são, portanto,
e
. Observação: as desigualdades são estritas porque igualdades gerariam triângulos degenerados (colineares), não triângulos propriamente ditos.
Passo 9
Um par de exemplos para fixar a intuição:
- Se
então os lados seriam (equilátero) — funciona. - Se
então os lados seriam — também funcionam. - Se
(igual a ) seria degenerado ( ), então não vale.
Resposta
b)