Questão 4: Pitágoras proposição, explique o trecho do livro abaixo:
1.2.17 [PITÁGORAS] Proposição
Sejam
com
. Então,
é perpendicular a
se, e somente se,
.
Demonstração: Resulta imediatamente de
, como indica a proposição 1.2.6, item (iv).
Enfim a desigualdade de Cauchy-Schwarz, já obtida via argumento geométricos para os espaços
e
.
Demonstração: Resulta imediatamente de
Passo 1
O enunciado dá duas coisas e pede uma equivalência:
- Dados:
e . - Afirmação a ser explicada: “
é perpendicular a se, e somente se, .” - Também aparece a nota sobre a desigualdade de Cauchy–Schwarz.
O que vamos fazer: explicar passo a passo por que a igualdade envolvendo normas é equivalente à perpendicularidade (ou seja, por que isso é a versão algébrica do teorema de Pitágoras no espaço euclidiano) e em seguida mostrar como, a partir das mesmas ideias algébricas, se obtém a desigualdade de Cauchy–Schwarz.
Passo 2
Definições e notação — o fundamento que usamos (de forma bem clara):
- Produto interno (produto escalar) em
: para e ,
- Norma associada (módulo) de um vetor
:
Logo
- Definição de perpendicularidade (ortogonalidade):
é perpendicular a (escreve-se ) quando
Estas são as únicas coisas que precisamos como “ferramentas” para provar a proposição.
Passo 3
Identidade algébrica central (expansão do quadrado da soma) — mostramos de onde vem a fórmula citada no livro:
Calculemos
usando produto interno:
Usando distributividade do produto interno:
Como
, juntamos os termos mistos:
Em termos de normas:
Essa é exatamente a identidade usada na citação do livro (é a versão vetorial de
).
Passo 4
Prova da implicação direta (
): se
então
.
- Se
, por definição . - Colocando isso na identidade do passo anterior:
Pronto: perpendicularidade zera o termo misto e resta a soma dos quadrados — é exatamente o enunciado.
Passo 5
Prova da implicação recíproca (
): se
então
.
- Partimos da identidade
- Se, por hipótese, à esquerda temos
, então comparando com a identidade obtemos
- Cancelando
em ambos os lados, sobra
- Portanto
, ou seja, .
Observação: não usamos divisão por
em nenhum ponto; a hipótese
do enunciado não é necessária para esta equivalência algebraica — a prova vale também quando
. Talvez o autor incluiu
para evitar discutir o caso degenerado ou por hábito.
Passo 6
Exemplo concreto em
para fixar a intuição (faça na prova se quiser ver “com números”):
- Tome
e . Então
logo
.
- Calcule as normas:
- Então
Isto ilustra concretamente a igualdade de Pitágoras vetorial.
Passo 7
Como a mesma identidade leva à desigualdade de Cauchy–Schwarz — derivação passo a passo:
Queremos mostrar que, para quaisquer
,
Uma maneira elegante é usar que a norma ao quadrado de qualquer vetor é não negativa. Considere a função de uma variável real
:
Para todo
tem-se
. Expandindo
com a identidade do passo 3:
Isso é um polinômio quadrático em
:
Como
para todo
, esse polinômio não tem raízes reais (ou tem raiz dupla), o que implica que seu discriminante é menor ou igual a zero. O discriminante
é
Exigir
dá
Dividindo por
,
que é exatamente a desigualdade de Cauchy–Schwarz.
Passo 8
Caso de igualdade na Cauchy–Schwarz e conexão geométrica:
- A igualdade
ocorre exatamente quando o discriminante , ou seja, quando existe algum tal que . Isso significa que e são linearmente dependentes (um é múltiplo do outro). - Geometricamente: igualdade ocorre quando os vetores são colineares (mesma direção ou direções opostas). Para vetores ortogonais (perpendiculares) tem-se
, e então Cauchy–Schwarz dá — trivialmente verdade; o caso ortogonal é um caso particular em que a desigualdade é estrita se ambos os vetores não forem nulos.
Passo 9
Resumo conceitual e dica para a prova (tomando o lugar de um amigo estudando com você):
- A identidade
é a ferramenta-chave: zera-se o termo
para obter a “Pitágoras” vetorial.
- Para mostrar equivalências do tipo “
se, e somente se …”, sempre mostre as duas direções (se orthogonal então igualdade; se igualdade então orthogonal), substituindo ou isolando . - Para Cauchy–Schwarz, use a não-negatividade de
e o argumento do discriminante — é curto e elegante e frequentemente exigido em provas.
Força aí — a passagem do livro é curta porque a identidade se provê facilmente pelo produto interno, e a desigualdade de Cauchy–Schwarz sai com um pequeno passo a mais usando não-negatividade.