Questão 4: Pitágoras proposição, explique o trecho do livro abaixo:

1.2.17 [PITÁGORAS] Proposição

Sejam X, Y \in \mathbb{R}^{n} com X \neq O. Então, X é perpendicular a Y se, e somente se, \|X+Y\|^{2}=\|X\|^{2}+\|Y\|^{2}.
Demonstração: Resulta imediatamente de \|X+Y\|^{2}=\|X\|^{2}+\|Y\|^{2}+2 X \cdot Y, como indica a proposição 1.2.6, item (iv).
Enfim a desigualdade de Cauchy-Schwarz, já obtida via argumento geométricos para os espaços \mathbb{R}^{2} e \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá duas coisas e pede uma equivalência:
  • Dados: X, Y \in \mathbb{R}^{n} e X \neq O.
  • Afirmação a ser explicada: “ X é perpendicular a Y se, e somente se, \|X+Y\|^{2}=\|X\|^{2}+\|Y\|^{2}.”
  • Também aparece a nota sobre a desigualdade de Cauchy–Schwarz.
O que vamos fazer: explicar passo a passo por que a igualdade envolvendo normas é equivalente à perpendicularidade (ou seja, por que isso é a versão algébrica do teorema de Pitágoras no espaço euclidiano) e em seguida mostrar como, a partir das mesmas ideias algébricas, se obtém a desigualdade de Cauchy–Schwarz.

Passo 2

Definições e notação — o fundamento que usamos (de forma bem clara):
  • Produto interno (produto escalar) em \mathbb{R}^{n}: para X=(x_{1},\dots,x_{n}) e Y=(y_{1},\dots,y_{n}),
X\cdot Y = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + \cdots + x_{n}y_{n}.
  • Norma associada (módulo) de um vetor X:
\|X\| = \sqrt{X\cdot X}.
Logo
\|X\|^{2} = X\cdot X.
  • Definição de perpendicularidade (ortogonalidade): X é perpendicular a Y (escreve-se X\perp Y) quando
X\cdot Y = 0.
Estas são as únicas coisas que precisamos como “ferramentas” para provar a proposição.

Passo 3

Identidade algébrica central (expansão do quadrado da soma) — mostramos de onde vem a fórmula citada no livro:
Calculemos \|X+Y\|^{2} usando produto interno:
\|X+Y\|^{2} = (X+Y)\cdot(X+Y).
Usando distributividade do produto interno:
(X+Y)\cdot(X+Y) = X\cdot X + X\cdot Y + Y\cdot X + Y\cdot Y.
Como X\cdot Y = Y\cdot X, juntamos os termos mistos:
\|X+Y\|^{2} = X\cdot X + 2\,X\cdot Y + Y\cdot Y.
Em termos de normas:
\|X+Y\|^{2} = \|X\|^{2} + 2\,X\cdot Y + \|Y\|^{2}.
Essa é exatamente a identidade usada na citação do livro (é a versão vetorial de (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}).

Passo 4

Prova da implicação direta ( \Rightarrow): se X\perp Y então \|X+Y\|^{2}=\|X\|^{2}+\|Y\|^{2}.
  • Se X\perp Y, por definição X\cdot Y = 0.
  • Colocando isso na identidade do passo anterior:
\|X+Y\|^{2} = \|X\|^{2} + 2\cdot 0 + \|Y\|^{2} = \|X\|^{2} + \|Y\|^{2}.
Pronto: perpendicularidade zera o termo misto e resta a soma dos quadrados — é exatamente o enunciado.

Passo 5

Prova da implicação recíproca ( \Leftarrow): se \|X+Y\|^{2}=\|X\|^{2}+\|Y\|^{2} então X\perp Y.
  • Partimos da identidade
\|X+Y\|^{2} = \|X\|^{2} + 2\,X\cdot Y + \|Y\|^{2}.
  • Se, por hipótese, à esquerda temos \|X+Y\|^{2}=\|X\|^{2}+\|Y\|^{2}, então comparando com a identidade obtemos
\|X\|^{2} + 2\,X\cdot Y + \|Y\|^{2} = \|X\|^{2} + \|Y\|^{2}.
  • Cancelando \|X\|^{2}+\|Y\|^{2} em ambos os lados, sobra
2\,X\cdot Y = 0.
  • Portanto X\cdot Y = 0, ou seja, X\perp Y.
Observação: não usamos divisão por \|X\| em nenhum ponto; a hipótese X\neq O do enunciado não é necessária para esta equivalência algebraica — a prova vale também quando X=O. Talvez o autor incluiu X\neq O para evitar discutir o caso degenerado ou por hábito.

Passo 6

Exemplo concreto em \mathbb{R}^{2} para fixar a intuição (faça na prova se quiser ver “com números”):
  • Tome X=(3,4) e Y=(4,-3). Então
X\cdot Y = 3\cdot 4 + 4\cdot(-3) = 12 -12 = 0,
logo X\perp Y.
  • Calcule as normas:
\|X\|^{2} = 3^{2}+4^{2}=9+16=25,\qquad \|Y\|^{2}=4^{2}+(-3)^{2}=16+9=25.
  • Então
\|X+Y\|^{2} = \|(7,1)\|^{2} = 7^{2}+1^{2}=49+1=50 = 25+25 = \|X\|^{2}+\|Y\|^{2}.
Isto ilustra concretamente a igualdade de Pitágoras vetorial.

Passo 7

Como a mesma identidade leva à desigualdade de Cauchy–Schwarz — derivação passo a passo:
Queremos mostrar que, para quaisquer X,Y,
(X\cdot Y)^{2} \le \|X\|^{2}\,\|Y\|^{2}.
Uma maneira elegante é usar que a norma ao quadrado de qualquer vetor é não negativa. Considere a função de uma variável real t:
f(t) = \|X + tY\|^{2}.
Para todo t\in\mathbb{R} tem-se f(t)\ge 0. Expandindo f(t) com a identidade do passo 3:
f(t) = \|X\|^{2} + 2t\, (X\cdot Y) + t^{2}\|Y\|^{2}.
Isso é um polinômio quadrático em t:
f(t) = \|Y\|^{2}\,t^{2} + 2(X\cdot Y)\,t + \|X\|^{2}.
Como f(t)\ge 0 para todo t, esse polinômio não tem raízes reais (ou tem raiz dupla), o que implica que seu discriminante é menor ou igual a zero. O discriminante D é
D = \bigl(2(X\cdot Y)\bigr)^{2} - 4\|Y\|^{2}\|X\|^{2}.
Exigir D\le 0
4(X\cdot Y)^{2} - 4\|X\|^{2}\|Y\|^{2}\le 0.
Dividindo por 4,
(X\cdot Y)^{2} \le \|X\|^{2}\|Y\|^{2},
que é exatamente a desigualdade de Cauchy–Schwarz.

Passo 8

Caso de igualdade na Cauchy–Schwarz e conexão geométrica:
  • A igualdade (X\cdot Y)^{2} = \|X\|^{2}\|Y\|^{2} ocorre exatamente quando o discriminante D=0, ou seja, quando existe algum t tal que X+tY=O. Isso significa que X e Y são linearmente dependentes (um é múltiplo do outro).
  • Geometricamente: igualdade ocorre quando os vetores são colineares (mesma direção ou direções opostas). Para vetores ortogonais (perpendiculares) tem-se X\cdot Y=0, e então Cauchy–Schwarz dá 0 \le \|X\|^{2}\|Y\|^{2} — trivialmente verdade; o caso ortogonal é um caso particular em que a desigualdade é estrita se ambos os vetores não forem nulos.

Passo 9

Resumo conceitual e dica para a prova (tomando o lugar de um amigo estudando com você):
  • A identidade
\|X+Y\|^{2} = \|X\|^{2} + 2\,X\cdot Y + \|Y\|^{2}
é a ferramenta-chave: zera-se o termo 2\,X\cdot Y para obter a “Pitágoras” vetorial.
  • Para mostrar equivalências do tipo “ X\perp Y se, e somente se …”, sempre mostre as duas direções (se orthogonal então igualdade; se igualdade então orthogonal), substituindo ou isolando X\cdot Y.
  • Para Cauchy–Schwarz, use a não-negatividade de \|X+tY\|^{2} e o argumento do discriminante — é curto e elegante e frequentemente exigido em provas.
Força aí — a passagem do livro é curta porque a identidade se provê facilmente pelo produto interno, e a desigualdade de Cauchy–Schwarz sai com um pequeno passo a mais usando não-negatividade.

Resposta

X\perp Y \Longleftrightarrow \|X+Y\|^{2}=\|X\|^{2}+\|Y\|^{2}\n
(X\cdot Y)^{2}\le \|X\|^{2}\|Y\|^{2}

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