Exercício 3. Calcule as seguintes derivadas parciais de ordem superior:
f_{z y x} para f(x, y, z)=x y z-y z^{2} \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada parcial de ordem superior f_{z y x} da função
f(x,y,z)=x y z - y z^{2}\sin x.
Informações dadas:
  • A função f depende das variáveis x, y e z.
  • A expressão explícita de f está acima.
  • A tarefa é obter a derivada parcial de terceira ordem indicada por f_{z y x}.

Passo 2

Interpretação da notação f_{z y x}.
  • A notação f_{z y x} significa que se aplicam, sucessivamente, as diferenciações parciais nas variáveis indicadas, da direita para a esquerda. Ou seja, primeiro se diferencia em relação a x, depois o resultado é diferenciado em relação a y e, por fim, desse resultado se diferencia em relação a z.
  • Assim, vamos calcular primeiro f_x, depois f_{xy} e por fim f_{xyz}. (Observação: se as derivadas mistas forem contínuas, a ordem das diferenciações não altera o resultado — teorema de Clairaut — mas aqui seguimos a ordem pedida.)

Passo 3

Calcular f_x (derivada parcial de f em relação a x).
  • Regra usada: ao derivar em relação a x, trata-se y e z como constantes.
  • Derivada de x y z em relação a x: como y z é constante, resulta y z.
  • Derivada de -y z^{2}\sin x em relação a x: -y z^{2} é constante e a derivada de \sin x é \cos x. Logo dá -y z^{2}\cos x.
    Portanto
f_x = y z - y z^{2}\cos x.

Passo 4

Calcular f_{xy} (derivar f_x em relação a y).
  • Regra usada: ao derivar em relação a y, trata-se x e z como constantes.
  • f_x = y z - y z^{2}\cos x é uma soma de dois termos com fator y.
  • Derivada de y z em relação a y: z.
  • Derivada de -y z^{2}\cos x em relação a y: como z^{2}\cos x é constante, dá -z^{2}\cos x.
    Portanto
f_{xy} = z - z^{2}\cos x.

Passo 5

Calcular f_{xyz} (derivar f_{xy} em relação a z). Este será o f_{z y x} pedido.
  • Regra usada: ao derivar em relação a z, trata-se x e y como constantes.
  • f_{xy} = z - z^{2}\cos x.
  • Derivada de z em relação a z: 1.
  • Derivada de -z^{2}\cos x em relação a z: -2z\cos x, pois \cos x é constante em relação a z.
    Portanto
f_{xyz}=1-2z\cos x.

Passo 6

Comentário final e checagem rápida.
  • As operações foram aplicações diretas das regras de derivada parcial, tratando as demais variáveis como constantes em cada passo.
  • O resultado final é uma função simples de x e z, e está coerente com o fato de que a variável y desapareceu na derivada mista porque f é linear em y nos termos considerados.

Resposta

1-2z\cos x

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