Exercício 3. Calcule as seguintes derivadas parciais de ordem superior:
para
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada parcial de ordem superior
da função
Informações dadas:
- A função
depende das variáveis , e . - A expressão explícita de
está acima. - A tarefa é obter a derivada parcial de terceira ordem indicada por
.
Passo 2
Interpretação da notação
.
- A notação
significa que se aplicam, sucessivamente, as diferenciações parciais nas variáveis indicadas, da direita para a esquerda. Ou seja, primeiro se diferencia em relação a , depois o resultado é diferenciado em relação a e, por fim, desse resultado se diferencia em relação a . - Assim, vamos calcular primeiro
, depois e por fim . (Observação: se as derivadas mistas forem contínuas, a ordem das diferenciações não altera o resultado — teorema de Clairaut — mas aqui seguimos a ordem pedida.)
Passo 3
Calcular
(derivada parcial de
em relação a
).
- Regra usada: ao derivar em relação a
, trata-se e como constantes. - Derivada de
em relação a : como é constante, resulta . - Derivada de
em relação a : é constante e a derivada de é . Logo dá .
Portanto
Passo 4
Calcular
(derivar
em relação a
).
- Regra usada: ao derivar em relação a
, trata-se e como constantes. -
é uma soma de dois termos com fator . - Derivada de
em relação a : . - Derivada de
em relação a : como é constante, dá .
Portanto
Passo 5
Calcular
(derivar
em relação a
). Este será o
pedido.
- Regra usada: ao derivar em relação a
, trata-se e como constantes. -
. - Derivada de
em relação a : . - Derivada de
em relação a : , pois é constante em relação a .
Portanto
Passo 6
Comentário final e checagem rápida.
- As operações foram aplicações diretas das regras de derivada parcial, tratando as demais variáveis como constantes em cada passo.
- O resultado final é uma função simples de
e , e está coerente com o fato de que a variável desapareceu na derivada mista porque é linear em nos termos considerados.