(FEI-SP) Duas cargas elétricas puntiformes \mathrm{Q}_{1} e \mathrm{Q}_{2}= 4 Q_{1} estão fixas nos pontos A e B, distantes 30 cm . Em que posição ( x ) deve ser colocada uma carga Q_{3}=2 Q_{1} para ficar em equilíbrio sob ação somente de forças elétricas?

Passo 1

O enunciado dá duas cargas puntiformes fixas: \,Q_1 em A e \,Q_2=4Q_1 em B, separadas por 30\text{ cm}. Queremos posicionar \,Q_3=2Q_1 sobre a mesma reta, a uma distância x de A, de modo que a soma das forças elétricas sobre \,Q_3 seja nula. Para isso usaremos a Lei de Coulomb e igualaremos as magnitudes das forças de repulsão vindas de Q_1 e de Q_2.

Passo 2

Se \,Q_3 está a uma distância x de A, então:
  • a distância até Q_1 é x,
  • a distância até Q_2 é 30 - x.
    Pela Lei de Coulomb, a força de repulsão de Q_1 sobre Q_3 tem magnitude
F_1 = k\,\frac{Q_1\cdot Q_3}{x^2}
e a de Q_2 sobre Q_3 é
F_2 = k\,\frac{Q_2\cdot Q_3}{(30 - x)^2}.

Passo 3

Em equilíbrio, as duas forças têm mesma magnitude (mas direções opostas), então
F_1 = F_2 \quad\Longrightarrow\quad k\,\frac{Q_1\,Q_3}{x^2} = k\,\frac{Q_2\,Q_3}{(30 - x)^2}.
Cancelando k e Q_3 e substituindo Q_2=4Q_1, fica
\frac{Q_1}{x^2} = \frac{4Q_1}{(30 - x)^2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{x^2} = \frac{4}{(30 - x)^2}.

Passo 4

Da igualdade \,(30 - x)^2 = 4\,x^2 tiramos as raízes:
30 - x = 2x \quad\text{ou}\quad 30 - x = -2x.
A primeira dá 30 = 3x, ou seja x = 10\text{ cm}. A segunda leva a x=-30\text{ cm}, sem significado físico aqui.

Passo 5

O valor x=10\text{ cm} coloca Q_3 exatamente entre A e B, resultando em forças opostas de mesma intensidade. A outra solução é fora do segmento e não gera equilíbrio.

Resposta

x = 10\text{ cm} a partir do ponto A.

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