(FEI-SP) Num polígono regular, o número de diagonais de um polígono é o triplo de seu número n de lados. Então, esse polígono é o:
a) hexágono.
b) octógono.
c) eneágono.
d) dodecágono.
e) pentágono.

Passo 1

O enunciado diz que, num polígono regular, o número de diagonais é o triplo do número de lados n. Ou seja, se D é o número de diagonais, temos que D = 3n. As opções dadas são:
a) hexágono; b) octógono; c) eneágono; d) dodecágono; e) pentágono.
Informações importantes fornecidas: o polígono é regular (isso não altera a contagem de diagonais, apenas indica que todos os lados são iguais) e a relação entre diagonais e lados é D = 3n.

Passo 2

Preciso da fórmula que dá o número de diagonais de um polígono em função de n. Vou deduzir essa fórmula passo a passo:
  • Pegue um vértice qualquer. A partir desse vértice podemos traçar segmentos para todos os outros n-1 vértices, mas dois desses segmentos são os lados que ligam aos vértices adjacentes, e um é o próprio vértice (não conta). Portanto, o número de diagonais que partem de um vértice é n-3.
  • Como há n vértices, somando essas diagonais a princípio temos n(n-3). Mas cada diagonal conecta dois vértices, então foi contada duas vezes nessa soma.
  • Então devemos dividir por 2 para contar cada diagonal apenas uma vez.
Logo, a fórmula é:
D = \frac{n(n-3)}{2}.
Para fixar a ideia, veja dois exemplos simples:
  • Triângulo ( n=3): \displaystyle D=\frac{3(0)}{2}=0 diagonais — faz sentido.
  • Quadrilátero ( n=4): \displaystyle D=\frac{4(1)}{2}=2 diagonais — correto.

Passo 3

Agora uso a condição do enunciado D=3n e substituo a fórmula de D:
\frac{n(n-3)}{2} = 3n.
Para resolver essa equação, primeiro multiplico ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
n(n-3) = 6n.
Desenvolvendo o produto no lado esquerdo:
n^2 - 3n = 6n.
Levo todos os termos para um lado:
n^2 - 3n - 6n = 0
n^2 - 9n = 0.

Passo 4

Fatorando o polinômio:
n(n-9) = 0.
As soluções algébricas são n=0 ou n=9. Mas n representa o número de lados de um polígono, e um polígono tem pelo menos 3 lados; portanto n=0 é impossível. Logo a solução válida é n=9.
Faço uma checagem rápida substituindo n=9 na fórmula de diagonais:
D=\frac{9(9-3)}{2}=\frac{9\cdot 6}{2}=9\cdot 3=27,
o que é de fato 3\cdot 9. Está consistente.

Passo 5

Interpretando a resposta em palavras: um polígono com 9 lados chama-se eneágono. Entre as alternativas dadas, corresponde à letra c).

Resposta

c) eneágono.

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