(FEI-SP) Num polígono regular, o número de diagonais de um polígono é o triplo de seu número n de lados. Então, esse polígono é o:
a) hexágono.
b) octógono.
c) eneágono.
d) dodecágono.
e) pentágono.
a) hexágono.
b) octógono.
c) eneágono.
d) dodecágono.
e) pentágono.
Passo 1
O enunciado diz que, num polígono regular, o número de diagonais é o triplo do número de lados
. Ou seja, se
é o número de diagonais, temos que
. As opções dadas são:
a) hexágono; b) octógono; c) eneágono; d) dodecágono; e) pentágono.
Informações importantes fornecidas: o polígono é regular (isso não altera a contagem de diagonais, apenas indica que todos os lados são iguais) e a relação entre diagonais e lados é .
a) hexágono; b) octógono; c) eneágono; d) dodecágono; e) pentágono.
Informações importantes fornecidas: o polígono é regular (isso não altera a contagem de diagonais, apenas indica que todos os lados são iguais) e a relação entre diagonais e lados é
Passo 2
Preciso da fórmula que dá o número de diagonais de um polígono em função de
. Vou deduzir essa fórmula passo a passo:
- Pegue um vértice qualquer. A partir desse vértice podemos traçar segmentos para todos os outros
vértices, mas dois desses segmentos são os lados que ligam aos vértices adjacentes, e um é o próprio vértice (não conta). Portanto, o número de diagonais que partem de um vértice é . - Como há
vértices, somando essas diagonais a princípio temos . Mas cada diagonal conecta dois vértices, então foi contada duas vezes nessa soma. - Então devemos dividir por 2 para contar cada diagonal apenas uma vez.
Logo, a fórmula é:
Para fixar a ideia, veja dois exemplos simples:
- Triângulo (
): diagonais — faz sentido. - Quadrilátero (
): diagonais — correto.
Passo 3
Agora uso a condição do enunciado
e substituo a fórmula de
:
Para resolver essa equação, primeiro multiplico ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Desenvolvendo o produto no lado esquerdo:
Levo todos os termos para um lado:
Passo 4
Fatorando o polinômio:
As soluções algébricas são
ou
. Mas
representa o número de lados de um polígono, e um polígono tem pelo menos
lados; portanto
é impossível. Logo a solução válida é
.
Faço uma checagem rápida substituindo
na fórmula de diagonais:
o que é de fato
. Está consistente.
Passo 5
Interpretando a resposta em palavras: um polígono com
lados chama-se eneágono. Entre as alternativas dadas, corresponde à letra c).
Resposta
c) eneágono.