Informações fornecidas que vamos usar: \; 1) o integrando contém \sqrt{x} e x juntos na mesma expressão; \; 2) o numerador é 2\,dx.
A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função em termos de x, somando a constante de integração C.
Passo 2
Motivação e substituição inicial (transformar a raiz em variável polinomial): como aparece \sqrt{x}, é natural fazer a substituição
t=\sqrt{x}.
Explico: assim x=t^2 e a expressão do denominador vira um polinómio em t, o que facilita bastante. Agora calculemos dx em função de dt:
Análise da nova integral e ideia de decomposição: temos agora
\int \frac{4t}{t^2-3t+10}\,dt.
Uma técnica útil é escrever o numerador como combinação do derivado do denominador mais uma constante, porque \int \frac{f'(t)}{f(t)}dt=\ln|f(t)|. O derivado do denominador é
\frac{d}{dt}\big(t^2-3t+10\big)=2t-3.
Queremos constants A,B tais que
4t = A(2t-3) + B.
Resolvendo coeficiente a coeficiente: do termo em t vem 4 = 2A então A=2. Da constante:
Então, fazendo a mudança u=t-\frac{3}{2} (logo du=dt), a integral fica
6\int \frac{du}{u^2 + \frac{31}{4}}.
Passo 6
Usar a fórmula da integral da forma \int \frac{du}{u^2+a^2} = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right): aqui a^2=\frac{31}{4}, então a=\frac{\sqrt{31}}{2}. Aplicando,