(1pts) \int \frac{2 d x}{x-3 \sqrt{x}+10}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{2\,dx}{x-3\sqrt{x}+10}.
Informações fornecidas que vamos usar:
\; 1) o integrando contém \sqrt{x} e x juntos na mesma expressão;
\; 2) o numerador é 2\,dx.
A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função em termos de x, somando a constante de integração C.

Passo 2

Motivação e substituição inicial (transformar a raiz em variável polinomial): como aparece \sqrt{x}, é natural fazer a substituição
t=\sqrt{x}.
Explico: assim x=t^2 e a expressão do denominador vira um polinómio em t, o que facilita bastante. Agora calculemos dx em função de dt:
x=t^2\quad\Rightarrow\quad dx=2t\,dt.
Substituindo na integral original:
\int \frac{2\,dx}{x-3\sqrt{x}+10} = \int \frac{2\cdot(2t\,dt)}{t^2-3t+10} = \int \frac{4t\,dt}{t^2-3t+10}.

Passo 3

Análise da nova integral e ideia de decomposição: temos agora
\int \frac{4t}{t^2-3t+10}\,dt.
Uma técnica útil é escrever o numerador como combinação do derivado do denominador mais uma constante, porque \int \frac{f'(t)}{f(t)}dt=\ln|f(t)|. O derivado do denominador é
\frac{d}{dt}\big(t^2-3t+10\big)=2t-3.
Queremos constants A,B tais que
4t = A(2t-3) + B.
Resolvendo coeficiente a coeficiente: do termo em t vem 4 = 2A então A=2. Da constante:
0 = -3A + B \quad\Rightarrow\quad B=3A=6.
Logo 4t = 2(2t-3) + 6.

Passo 4

Separando a integral usando a decomposição:
\int \frac{4t}{t^2-3t+10}\,dt = \int \frac{2(2t-3)}{t^2-3t+10}\,dt + \int \frac{6}{t^2-3t+10}\,dt.
A primeira integral é direta pela regra \int \frac{f'(t)}{f(t)}dt=\ln|f(t)|. Portanto
\int \frac{2(2t-3)}{t^2-3t+10}\,dt = 2\ln\big|t^2-3t+10\big|.
(Observação: o valor dentro do log é sempre positivo aqui, mas manter a barra de valor absoluto é boa prática.)

Passo 5

Tratar a segunda integral por completar o quadrado:
\int \frac{6}{t^2-3t+10}\,dt.
Complete o quadrado no denominador:
t^2-3t+10 = \left(t-\frac{3}{2}\right)^2 + 10 - \frac{9}{4} = \left(t-\frac{3}{2}\right)^2 + \frac{31}{4}.
Então, fazendo a mudança u=t-\frac{3}{2} (logo du=dt), a integral fica
6\int \frac{du}{u^2 + \frac{31}{4}}.

Passo 6

Usar a fórmula da integral da forma \int \frac{du}{u^2+a^2} = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right): aqui a^2=\frac{31}{4}, então a=\frac{\sqrt{31}}{2}. Aplicando,
6\int \frac{du}{u^2+\left(\frac{\sqrt{31}}{2}\right)^2} = 6\cdot\frac{1}{\frac{\sqrt{31}}{2}}\arctan\!\left(\frac{u}{\frac{\sqrt{31}}{2}}\right) = \frac{12}{\sqrt{31}}\arctan\!\left(\frac{2u}{\sqrt{31}}\right).
Voltando para t (pois u=t-\tfrac{3}{2}), isso é
\frac{12}{\sqrt{31}}\arctan\!\left(\frac{2t-3}{\sqrt{31}}\right).

Passo 7

Juntando as duas partes (a do log e a do arco-tangente) temos a primitiva em t:
2\ln\big|t^2-3t+10\big| + \frac{12}{\sqrt{31}}\arctan\!\left(\frac{2t-3}{\sqrt{31}}\right) + C.
Finalmente substituímos t=\sqrt{x} para voltar à variável x. Assim a primitiva da integral original é
2\ln\big|x-3\sqrt{x}+10\big| + \frac{12}{\sqrt{31}}\arctan\!\left(\frac{2\sqrt{x}-3}{\sqrt{31}}\right) + C.

Resposta

2\ln\big|x-3\sqrt{x}+10\big|+\dfrac{12}{\sqrt{31}}\arctan\!\bigg(\dfrac{2\sqrt{x}-3}{\sqrt{31}}\bigg)+C

Exercícios relacionados