O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x+1}{3+x^{2}}\,\mathrm{d}x.
Informações dadas: o integrando é a soma de duas parcelas no numerador: x e 1, divididas pelo denominador 3+x^{2}. A tarefa é encontrar uma primitiva (ou família de primitivas) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x+1}{3+x^{2}}.
Passo 2
Estratégia inicial (sem resolver ainda): separar a fração em duas parcelas mais simples, porque
Esse é um truque comum: decompor o integrando em termos que reconhecemos como derivada de 3+x^{2} (para usar substituição) e uma parte do tipo \dfrac{1}{a^{2}+x^{2}} (que leva a arcotangente).
Pequena derivação/intuição da fórmula da arctan (se quiser entender de onde vem): fazer a substituição trigonométrica x=a\tan\theta. Então \mathrm{d}x=a\operatorname{sec}^{2}\theta\,\mathrm{d}\theta e