(1pts) \int \frac{x+1}{3+x^{2}} \mathrm{~d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x+1}{3+x^{2}}\,\mathrm{d}x.
Informações dadas: o integrando é a soma de duas parcelas no numerador: x e 1, divididas pelo denominador 3+x^{2}. A tarefa é encontrar uma primitiva (ou família de primitivas) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x+1}{3+x^{2}}.

Passo 2

Estratégia inicial (sem resolver ainda): separar a fração em duas parcelas mais simples, porque
\frac{x+1}{3+x^{2}}=\frac{x}{3+x^{2}}+\frac{1}{3+x^{2}}.
Esse é um truque comum: decompor o integrando em termos que reconhecemos como derivada de 3+x^{2} (para usar substituição) e uma parte do tipo \dfrac{1}{a^{2}+x^{2}} (que leva a arcotangente).

Passo 3

Vamos integrar a primeira parcela
\int \frac{x}{3+x^{2}}\,\mathrm{d}x.
Método: substituição simples. Definimos
u=3+x^{2}.
Então derivando ambos os lados em relação a x,
\mathrm{d}u=2x\,\mathrm{d}x \quad\Longrightarrow\quad x\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\,\mathrm{d}u.
Substituindo na integral obtemos
\int \frac{x}{3+x^{2}}\,\mathrm{d}x=\int \frac{1}{u}\cdot\frac{1}{2}\,\mathrm{d}u=\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,\mathrm{d}u.
Sabendo que a primitiva de \dfrac{1}{u} é \ln|u|, concluímos
\int \frac{x}{3+x^{2}}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\ln|u|+\text{const}=\frac{1}{2}\ln\bigl|3+x^{2}\bigr|+\text{const}.
Observação: como 3+x^{2}>0 para todo x, podemos quitar as barras de valor absoluto se quisermos, escrevendo \ln(3+x^{2}).

Passo 4

Agora a segunda parcela:
\int \frac{1}{3+x^{2}}\,\mathrm{d}x.
Aqui usamos a fórmula conhecida
\int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)+\text{const},
onde a>0. No nosso caso 3 é um quadrado de a=\sqrt{3}. Portanto, aplicando a fórmula com a=\sqrt{3},
\int \frac{1}{3+x^{2}}\,\mathrm{d}x=\int \frac{1}{(\sqrt{3})^{2}+x^{2}}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)+\text{const}.

Passo 5

Pequena derivação/intuição da fórmula da arctan (se quiser entender de onde vem): fazer a substituição trigonométrica x=a\tan\theta. Então \mathrm{d}x=a\operatorname{sec}^{2}\theta\,\mathrm{d}\theta e
\int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}\,\mathrm{d}x=\int \frac{1}{a^{2}+a^{2}\tan^{2}\theta}\,a\operatorname{sec}^{2}\theta\,\mathrm{d}\theta =\int \frac{a\operatorname{sec}^{2}\theta}{a^{2}(1+\tan^{2}\theta)}\,\mathrm{d}\theta =\int \frac{1}{a}\,\mathrm{d}\theta=\frac{\theta}{a}+\text{const}.
Voltando para x, temos \theta=\arctan\!\left(\dfrac{x}{a}\right), daí a fórmula.

Passo 6

Agora somamos as primitivas das duas parcelas (podemos juntar as constantes em uma única constante C). Portanto
\int \frac{x+1}{3+x^{2}}\,\mathrm{d}x =\int \frac{x}{3+x^{2}}\,\mathrm{d}x+\int \frac{1}{3+x^{2}}\,\mathrm{d}x =\frac{1}{2}\ln\bigl(3+x^{2}\bigr)+\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)+C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\ln\bigl(3+x^{2}\bigr)+\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)+C

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