É feito um corte em um solo cuja interface formará um ângulo de 45^{\circ} com a horizontal, determine: (Dados: \varphi^{\prime}=20^{\circ}, \mathrm{c}^{\prime}=25 \mathrm{kPa} \mathrm{e} \gamma=18 \mathrm{kN} / \mathrm{m} )
a) Qual deve ser a profundidade do corte para que tenha fator de segurança \mathrm{FS}=3,0.
b) Qual a profundidade máxima para que não ocorra deslizamento.

Passo 1

O enunciado trata de um bloco de solo com resistência ao cisalhamento descrita pela lei de Mohr–Coulomb c', \varphi' que desliza ao longo de um plano que forma ângulo \alpha=45^\circ com a horizontal. Precisamos usar o equilíbrio de forças no bloco para obter o fator de segurança
\mathrm{FS}=\frac{\text{Resistência total ao cisalhamento}}{\text{Esforço cortante atuante}}êç
e então encontrar a profundidade d que satisfaça \mathrm{FS}=3{,}0 (item a) e \mathrm{FS}=1{,}0 (item b).

Passo 2

Considere unidade de largura perpendicular ao plano de deslizamento.
• Peso do bloco: a área do triângulo formado pela base vertical de altura d e pelo plano inclinado é
A = \frac{d\cdot (d/\tan\alpha)}{2} = \frac{d^2}{2\,\sin\alpha\cos\alpha}\,,
logo
W = \gamma\,A = \frac{\gamma\,d^2}{2\,\sin\alpha\cos\alpha}\,.
• Forças no plano:
– Componente normal ao plano: N = W\cos\alpha.
– Componente tangencial (driving): T = W\sin\alpha.
– Resistência ao cisalhamento disponível (shear strength):
S_r = c'\,L + N\,\tan\varphi',
onde L é o comprimento do plano inclinado:
L = \frac{d}{\cos\alpha}\,.
Portanto
\mathrm{FS} = \frac{S_r}{T} = \frac{c'\,(d/\cos\alpha) + (W\cos\alpha)\,\tan\varphi'}{W\sin\alpha} = \frac{c'}{W\sin\alpha\,\cos\alpha}\,d + \frac{\cos^2\alpha\,\tan\varphi'}{\sin\alpha\cos\alpha}\,.
Substituindo W e simplificando obtém‐se a forma geral
\mathrm{FS} = \frac{c'}{\gamma\,d\,\sin\alpha\cos\alpha} + \frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}\,\tan\varphi'.

Passo 3

No caso \alpha=45^\circ temos \sin45^\circ=\cos45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2}, daí
\sin\alpha\cos\alpha = \tfrac12, \quad \frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = 1,
logo a expressão simplifica para
\mathrm{FS} = \frac{c'}{\gamma\,d\,(1/2)} + \tan\varphi' = \frac{2\,c'}{\gamma\,d} + \tan\varphi'.

Passo 4

Para \mathrm{FS}=3{,}0, isolamos d:
3{,}0 = \frac{2c'}{\gamma\,d} + \tan(20^\circ) \quad\Longrightarrow\quad \frac{2c'}{\gamma\,d} = 3{,}0 - \tan(20^\circ)\,.
Com c'=25,kPa, \gamma=18,kN/ m^{3} e \tan(20^\circ)\approx0{,}3640,
d = \frac{2\cdot25}{18\,(3{,}0 - 0{,}3640)} = \frac{50}{18\cdot2{,}636} \approx 1{,}05\\ \text{m}.

Passo 5

Para a profundidade máxima antes de ocorrer deslizamento \mathrm{FS}=1{,}0,
1{,}0 = \frac{2c'}{\gamma\,d_{\max}} + \tan(20^\circ) \quad\Longrightarrow\quad d_{\max} = \frac{2c'}{\gamma\,(1{,}0 - \tan20^\circ)}.
Substituindo os valores,
d_{\max} = \frac{50}{18\,(1{,}0 - 0{,}3640)} = \frac{50}{18\cdot0{,}6360} \approx 4{,}37\\ \text{m}.

Resposta

a) d \approx 1{,}05\\ \text{m} para \mathrm{FS}=3{,}0.
b) d_{\max} \approx 4{,}37\\ \text{m} para \mathrm{FS}=1{,}0.

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