CALCULAR INTEGRAL POR SUBSTITUICÃO TRIGONOMETRICA.
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}-4}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}-4}}\,dx
usando substituição trigonométrica. O conteúdo aqui é a substituição para radicais do tipo \sqrt{x^{2}-a^{2}} e a integral de \operatorname{sec}^{3}\theta.

Passo 2

Como temos \sqrt{x^{2}-4}, usamos a substituição
x = 2\operatorname{sec}\theta, \quad dx = 2\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta, \quad \sqrt{x^{2}-4} = \sqrt{4\operatorname{sec}^{2}\theta-4} = 2\tan\theta.

Passo 3

Substituindo na integral:
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}-4}}\,dx = \int \frac{(2\operatorname{sec}\theta)^{2}}{2\tan\theta}\,\bigl(2\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta\bigr) = \int 4\operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta, usamos a fórmula conhecida:
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \tfrac12\bigl(\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \ln\lvert\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\rvert\bigr) + C.
Logo,
\int 4\operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = 4 \cdot \tfrac12\bigl(\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \ln\lvert\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\rvert\bigr) + C = 2\operatorname{sec}\theta\tan\theta + 2\ln\lvert\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\rvert + C.

Passo 5

Voltando a x:
\operatorname{sec}\theta = \frac{x}{2}, \quad \tan\theta = \frac{\sqrt{x^{2}-4}}{2}.
Então
2\operatorname{sec}\theta\tan\theta = 2\cdot\frac{x}{2}\cdot\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{2} = \frac{x\sqrt{x^{2}-4}}{2},
e
2\ln\bigl\lvert\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr\rvert = 2\ln\Bigl\lvert\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{2}\Bigr\rvert = 2\ln\lvert x+\sqrt{x^{2}-4}\rvert + \text{const}.
Absorvendo constantes em C, obtemos a primitiva final.

Resposta

\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}-4}}\,dx = \frac{x\sqrt{x^{2}-4}}{2} + 2\ln\bigl\lvert x+\sqrt{x^{2}-4}\bigr\rvert + C.

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