15.22 Se

f(x)=\cos (x), \quad 0 \leq x \leq \pi / 2
e se f_{I}(x) é a extensão ímpar de f(x) entre -\pi / 2 \mathrm{e}+\pi / 2, obtenha a série de Fourier de f_{I}(x).

Passo 1

O enunciado define \!f(x)=\cos(x) em [0,\pi/2] e pede a série de Fourier de sua extensão ímpar f_I(x) em [-\,\pi/2,\pi/2].
Conteúdo: séries de Fourier para extensão ímpar (só senos) num intervalo simétrico de comprimento L=\pi/2.

Passo 2

Numa extensão ímpar em [-L,L], a série de Fourier só tem termos de seno:
f_I(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr),
com
b_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx.
Aqui L=\pi/2, logo \tfrac{n\pi}{L}=2n e
f_I(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(2n\,x),
b_n=\frac{2}{(\pi/2)}\int_{0}^{\pi/2}\cos(x)\,\sin(2n\,x)\,dx =\frac{4}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}\cos(x)\,\sin(2n\,x)\,dx.

Passo 3

Para calcular
I_n=\int_{0}^{\pi/2}\cos(x)\,\sin(2n\,x)\,dx
usa-se a identidade
\cos(x)\,\sin(2n\,x) =\tfrac12\bigl[\sin((2n+1)x)+\sin((2n-1)x)\bigr].
Então
I_n =\tfrac12\int_{0}^{\pi/2}\sin((2n+1)x)\,dx +\tfrac12\int_{0}^{\pi/2}\sin((2n-1)x)\,dx.

Passo 4

Cada integral vale
\int_{0}^{\pi/2}\sin(mx)\,dx =\Bigl[-\frac{\cos(mx)}{m}\Bigr]_{0}^{\pi/2} =\frac{1}{m}\quad\text{se \(m\) ímpar, pois \(\cos(m\pi/2)=0\).}í
Logo
I_n =\tfrac12\Bigl(\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n-1}\Bigr) =\frac{2n}{4n^2-1}.
Portanto
b_n=\frac{4}{\pi}\,I_n =\frac{4}{\pi}\,\frac{2n}{4n^2-1} =\frac{8n}{\pi\,(4n^2-1)}.

Passo 5

Substituindo em f_I(x)=\sum b_n\sin(2n\,x), obtemos a série de Fourier:
f_I(x) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{8n}{\pi\,(4n^2-1)}\;\sin(2n\,x).

Resposta

f_I(x) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{8n}{\pi\,(4n^2-1)}\;\sin(2n\,x).

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