Um feixe horizontal de luz laser com comprimento de onda de 585 nm passa por uma fenda estreita que possui largura de
. A intensidade da luz é medida em uma tela vertical que está a
da fenda. (a) Qual é a incerteza mínima no componente vertical do momento linear de cada fóton no feixe depois que o fóton tiver passado pela fenda? (b) Use o resultado do item (a) para estimar a largura da difração central máxima observada na tela.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um feixe de laser horizontal com comprimento de onda de 585 nm passando por uma fenda estreita de largura $ 0{,}0620 , mm $. A luz é projetada em uma tela a 2,00 metros da fenda.
Conteúdo da matéria envolvido:
- Princípio da Incerteza de Heisenberg: Relaciona a incerteza na posição e no momento de uma partícula.
- Difração da luz: Quando a luz passa por uma fenda estreita, ela se espalha, formando um padrão de difração na tela.
O que vamos precisar para resolver:
- Converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI).
- Conhecer a constante de Planck reduzida ($ \hbar $).
- Aplicar o princípio da incerteza para encontrar a incerteza no momento vertical.
- Usar o resultado para estimar a largura da difração central na tela.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a) da questão: Qual é a incerteza mínima no componente vertical do momento linear de cada fóton após passar pela fenda?
Princípio da Incerteza de Heisenberg:
Onde:
- $ \Delta y $ é a incerteza na posição (largura da fenda).
- $ \Delta p_y $ é a incerteza no momento vertical.
- $ \hbar = \frac{h}{2\pi} $ é a constante de Planck reduzida.
Passos para calcular $ \Delta p_y $:
- Converter a largura da fenda para metros:
2. Calcular $ \hbar $:
3. Aplicar o princípio da incerteza para encontrar $ \Delta p_y $:
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b): Usar o resultado do item (a) para estimar a largura da difração central máxima observada na tela.
Difração da luz através de uma fenda:
Quando a luz passa por uma fenda estreita, ela se difrata e forma um padrão de interferência na tela. A largura da difração central pode ser estimada pela relação:
Quando a luz passa por uma fenda estreita, ela se difrata e forma um padrão de interferência na tela. A largura da difração central pode ser estimada pela relação:
Onde:
- $ W $ é a largura da difração central.
- $ L $ é a distância da fenda à tela.
- $ \theta $ é o ângulo de difração.
Para pequenos ângulos, $ \theta $ pode ser aproximado por:
Onde:
- $ \lambda $ é o comprimento de onda da luz.
- $ \Delta y $ é a largura da fenda.
Passos para calcular $ W $:
- Converter o comprimento de onda para metros:
2. Usar a largura da fenda já convertida:
- Calcular o ângulo $ \theta $:
4. Aplicar na fórmula da largura da difração:
Resposta
(a) A incerteza mínima no componente vertical do momento linear de cada fóton após passar pela fenda é aproximadamente $ 8{,}51 \times 10^{-31} , kg \cdot m/s $.
(b) A largura da difração central máxima observada na tela é aproximadamente $ 1{,}89 , cm $.